Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos

Na anterior entrada demonstrámos que uma circunferência euclideana é uma cónica projetivamente falando (lugar geométrico dos pontos de interseção de retas correspondentes de dois feixes projetivos, não perspetivos).
Na construção que se segue A, B, C, P, Q são pontos da circunferência. Traçámos também as retas PA=a, PB=b e PC=c do feixe centrado em P e as respetivamente correspondentes QA=d, QB=e e QC=f do feixe centrado em Q Como já vimos, a correspondência a→d, b→e, c→f é uma projetividade. Considerados o par de ângulos APB ou ângulo das retas <)ab e <)de ou AQB, sabemos que são congruentes por serem ângulos inscritos num mesmo arco de uma mesma circunferência.
<)ab=<)de, <)bc=<)ef, <)ac=<)df Sendo A, B, C, P e Q concíclicos, há uma projetividade entre feixes associando os pares de retas PA→QA, PB→QB e PC→QC e associando como congruentes os pares de ângulos de retas correspondentes APB=AQB, BPC=BQC e APC=AQC.

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Poderá deslocar qualquer dos pontos sobre a circunferência.

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Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

A circunferência é uma cónica :-)

Em termos de geometria projetiva, definimos cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma dada polaridade ou como o lugar geométrico dos pontos de intersecção de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos.
Interessante é responder à pergunta: Uma qualquer das cónicas que definimos euclideanamente, com recurso a distâncias, será uma cónica projetivamente falando? Será uma circunferência euclideana uma cónica projetivamente falando?
N construção que se segue, está desenhada uma circunferência em que APBQC são vértices consecutivos de um hexágono regular nela inscrito.
É claro que AQ.PC=R (centro da circunferência considerada), AB é mediana do triângulo equilátero APR e BC é mediana de CQR. Tomamos também um diâmetro variável (a verde) que interseta AB em M e BC em N. E tomamos PM.QN=X (variável com o diâmetro MN)

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Na construção dinâmica em Cinderella, lia-se:
Pode deslocar X movimentando o diâmetro verde.
Pode controlar a animação do diâmetro (e de X)
nos botões do controlador à esquerda.

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------ construção dinâmica com Geogebra ------

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1. Euclideanamente falando:
   
   Por PQR ser um triângulo equilátero, AB é mediatriz de PR (PM=MR) e também é bissetriz de PAR (BAP=BAR). Daí, para ângulos, podermos concluir que XPA=MPA=ARM. Ora ARM=QRN e, por razões análogas às consideradas para o triângulo APR, NQR=NRQ. Podemos, assim, concluir que XPA=XQA. sendo P e Q pontos da circunferência dada, para além de A e C (proposição 21 do livro 3 dos Elementos) Do triângulo isósceles PMR, o ângulo externo XMN=2(60º-APX)=120º-2.APX. E como o ângulo externo XNM do triângulo isósceles QRN é 2.APX, o ângulo MXN é 60º (120-2APX+2APX+MXN= 120+MXN=180º, MXN=60º) Do quadrilátero XPBQ em que PBQ são pontos da circunferência, sabemos agora que o ângulo X=60º se opôe ao ângulo PBQ=120º e XPB=120-APX enquanto o seu oposto XQB=60º+APX, ou seja, é um quadrângulo em que os ângulos opostos somam 2 retos e 3 dos seus vértices estão sobre uma dada circunferência (proposição 22 do livro 3 dos Elementos). E, assim, podemos concluir que, pela definição euclideana o lugar geométrico dos pontos X é a circunferência que passa pelos pontos A,P, B, Q.
2. Projetivamente falando:
   Com o diâmetro variável, o conjunto das retas PM constituem um feixe centrado em P e, do mesmo modo, as retas QN constituem um feixe de retas centrado em Q. Estes dois feixes são projetivos não perspetivos ( verifique que quando PM=PA, é QN=QA e X=A; quando PM=PC, é QN=CQ, X=B=N; etc (construção de Braikenbridge-Mclaurin), isto é, os pontos de intersecção das retas correspondentes pela projetividade que os associa determina uma cónica única que passa pelos pontos A, B, C, P, Q da circunferência). O lugar geométrico dos pontos X (intersecções de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos) é uma cónica única definida projetivamente que coincide com a circunferência inicialmente definida euclideanamente.

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994