Cónica por 5 pontos

Na entrada Cónica inscrita num pentágono ilustrava-se o resultado:
Se p, q, r são três retas não concorrentes e XYZ é um triângulo variável em que X toma posições sobre p, Y sobre q e Z sobre r enquanto XZ e YZ passam respetivamente por pontos B e A fixos (não necessariamente incidentes em p ou q) não colineares com p.q
então
o lado XY envolve uma cónica (tangente a p, q, A(p.r), B(q.r), e AB ou inscrita num pentágono).

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Nessta entrada, apresentamos uma construção que ilustra o resultado dual desse, descoberto por Braikenbridge e Maclaurin, que se enuncia como segue:
Se P,Q, R são três pontos não colineares e xyz é um triângulo variável em que x passa por P, y passa por Q e z passa por R, enquanto x.z e y.z são pontos respetivamente de b e a fixas (não necessariamente a passar por P ou Q) não incidentes em PQ
então
o lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica (que passa por P, Q, a.PR, b.QR e a.b ou circunscrita a um pentágono)

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Esta construção sugere que os lados opostos de um hexágono inscrito numa cónica (de vértices P, Q, a.PR, b.QR, a.b, x.y) se intersetam em pontos colineares (b.x, a.y, PR.QR=c.d na figura).

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H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

Em várias entradas abordámos definições de cónicas, por exemplo,
- na entrada Steiner: definição dual mostrámos que
Quaisquer 5 retas, das quais não há 3 que incidam num mesmo ponto, determinam uma única cónica tangente a elas
- ou na entrada Steiner: cónica por 5 pontos construímos uma cónica passando por 5 pontos, dos quais não houvesse 3 colineares, sugerindo um resultado dual do anterior
Quaisquer 5 pontos, dos quais não há 3 colineares, determinam uma única cónica que passa por eles
Qualquer projetividade (entre conjuntos de pontos ou entre conjuntos de retas) fica bem definida por 6 dados: 3 elementos e seus 3 correspondentes. O que estes resultados nos dizem é que não são precisos os 6 elementos para definir uma cónica. Bastarão 5.
Uma construção que é atribuída a William Braikenridge e Colin MacLaurin ilustra bem que 5 pontos (dentre os quais não há 3 colineares) definem uma cónica, ou que há uma só cónica a passar por 5 pontos dados. De seguida, apresentamos essa construção:
Tomam-se cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3. E toma-se uma reta variável z que passe por A₁B₂.B₁A₂.
A reta A₂C₁ interseta z, seja z.A₂C₁ que com A₁ definem uma nova reta. Do mesmo modo, determina-se outra reta que passa por B₁ e por z.B₂C₁.
E designamos por C₂ a intersecção dessas duas retas definidas por último.

Quando z roda em torno de A₁B₂.B₁A₂, C₂ descreve uma cónica que passa pelos cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Resumindo:
A cónica que passa por A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3, é o lugar geométrico dos pontos C₂=A₁(z.C₁A₂).B₁(z.C₁B₂), em que z é uma reta variável que passa pelo ponto A₁B₂.B₁A₂.

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H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989