Hexágono que tem diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita

Na entrada anterior, apresentámos a demonstração (e a construção dinâmica que a ilustra) do
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.

---

No livro Geometria Projetiva que temos vindo a estudar, Coxeter apresenta várias ilustrações para esse resultado.
Aqui deixamos uma delas, "animada".
Trata-se de um hexágono ABCDEF em que as diagonais AD, BE e CF são concorrentes num ponto.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmicaA animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Construímos de tal modo que, mantendo fixos os lados AB, BC e AF, ao deslocar o ponto Z de encontro das diagonais, o lado XY (que toma a posição particular de DE, à partida) toma como posições particulares cada um dos lados do hexágono ABCDEF. As posições do ponto X sobre a reta EF constituem uma pontual relacionada por uma projetividade de eixo CF (não perspetiva) com a pontual Y de pontos sobre a reta CD. Conformes à definição de Steiner, as retas XY são tangentes a uma cónica (única) inscrita no hexágono ABCDEF.

Teorema de Brianchon

A construção e a demonstração da última entrada deram-nos um método simples e seguro para determinar uma cónica inscrita num pentágono qualquer. Pode ser descrito como segue:
Seja um pentágono ABCDE. Tome-se um ponto variável sobre uma das diagonais, por exemplo, Z em CE.
Para cada Z de CE tomem-se os pontos X=DE.ZB e Y=CD.AZ e a reta XY por eles definida.
O conjunto das retas assim definidas (quando Z percorre CE) são tangentes à cónica inscrita no pentágono ABCDE.

---

Na altura, chamámos a atenção para o hexágno da figura ABCYXE, com os seis lados tangentes à cónica. Cada par de vértices opostos define o que chamamos uma diagonal do hexágono, a saber AY, BX e CE e a construção associada mostrava-nos que quaisquer que fossem as pontuais X (sobre DE) e Y (sobre CD) projetivas, i.e. tais que AY e BX se intersetassem sobre CE. Via-se também que os lados desse pentágono eram posições particulares de XY e, por isso, a cónica definida é tangente a todos os lados do pentágono ABCDE.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica animada:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se os seis lados de um hexágono qualquer são tangentes a uma cónica, cinco deles, como tomámos por exemplo, DE, EA, AB, BC e CD, também são tangentes. Como é única a cónica tangente a estas 5 retas fixas, o sexto lado tem de coincidir com uma posição particular de XY para a qual BX.AY é um ponto de CE
Fica assim demonstrado o
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.