Steiner: definição dual

Dualizando a definição de Steiner, obtemos:
Sejam dois pontos X e Y pontos variáveis sobre as retas p e q tais que X e Y são projetivos mas não perspetivos. A envolvente das retas XY é uma cónica tangente a p e q.
Se a projetividade faz corresponder PDX a DQY, sendo D=p.q, P e Q são os pontos de contacto da cónica com p e q.
A construção, que se apresenta a seguir, ilustra uma projetividade entre as pontuais de base p e q: para cada conjunto de posições X₁, X₂, X₃ de X em p e as correspondentes posições Y₁, Y₂, Y₃ de Y em q, há uma única projetividade X₁ X₂ X₃X → Y₁Y₂Y₃Y.
A envolvente de XY é uma cónica quando quaisquer 3 das retas X_iY_i, p, q não forem concorrentes (não incidirem num mesmo ponto).
Verificará que quando X coincidir com D, XY coincide com q e Y coindirá com o ponto de tangência Q. E se for Y=D, XY=p e X=P.
Para a polaridade associada à cónica definida pelas cinco retas, PQ=d é a polar de D=p.q, p é polar de P, q é polar de Q,

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). da antiga animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Reciprocamente
Se 5 retas nas condições (X₁Y₁, X₂Y₂,X₃Y₃, p, q em que X_i é ponto de p e Y_i é ponto de q e nenhum terno delas ser concorrente) são tangentes a uma cónica, então para qualquer outra tangente XY
X₁X₂X₃X e Y₁Y₂Y₃Y são projetivos

Steiner: Cónica por 5 pontos

Sejam 5 pontos quaisquer P, Q, R, P' e Q' dos quais não há 3 que sejam colineares e uma reta variável x passando por P.
Definem-se
N=PQ'.P'Q, M=RP'.x, L=Q'R.MN e R'=QL.x
Procura-se o lugar geométrico dos pontos R'.

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A construção, que se apresenta a seguir, sugere que, quando x roda em torno de P, R' descreve uma cónica.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Se as retas x formam um feixe centrado em P, as retas y=LQ formam um outro feixe centrado em Q. Para cada x, há um ponto M=x.RP' a que corresponde um só ponto L sobre MN (N-persp) que por sua vez determina uma só reta y=LQ
Quando x=PQ (sendo uma reta do feixe centrado em P) corresponde-lhe uma reta y≠PQ (do feixe centrado em Q) . Do mesmo modo, quando y=PQ (reta do feixe centrado em Q) corresponde-lhe uma reta x≠PQ (do feixe centrado em P. Por isso, os dois feixes de retas (x e y) são projetivos não perspetivos. Se fossem perspetivos, à reta definida por P e Q (centros dos feixes) teria como imagem ela mesma.
Assim, pela definição de Steiner, x.y=R' está sobre a cónica que passa pelos pontos P, Q, R, P' e Q'.

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Esta construção sugere fortemente

1. que, para definir uma cónica bastam 5 pontos entre os quais não haja 3 a incidir numa reta comum, e, também,
2. que um método para determinar a tangente num dado ponto P de uma cónica pode consistir em determinar a reta de um feixe centrado em P que seja a correspondente projetiva a uma secante à cónica, qualquer, tirada por P, tomada como reta de um feixe centrado na intersecção da secante com a cónica