Steiner: a outra definição de cónica

Numa entrada Definição projetiva de cónicas, de Setembro de 2012, já abordámos a definição de uma cónica como lugar geométrico dos pontos de interseção das retas correspondentes em dois feixes projetivos, mas não perspetivos. Nas entradas posteriores, definimos cada cónica como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou retas auto-conjugadas) numa dada polaridade (seguindo Von Staudt, escreve Coxeter)
O enunciado do provado Teorema de Steiner garante que
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas que é o mesmo que dizer que,
se para uma dada polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é o triângulo auto-polar diagonal de quadrângulo de que se conhecem três vértices P, Q, R auto-conjugados (da cónica) os feixes das retas x=PR e y=QR (R variável) são projetivos.
O procedimento alternativo à definição de cónica como polaridade hiperbólica (com pontos auto-conjugados) é: Sejam os feixes de retas variáveis x e y passando por P e Q (fixos) projetivos mas não perspetivos. O lugar geométrico dos pontos x.y é uma cónica que passa por P e por Q.
Se pela projetividade entre os feixes for pdx →dqy, em que d=PQ, então p e q são as tangentes em P e Q.

Se a projetividade x→y não é uma perspetividade, a reta d=PQ não é transformada em si mesma. Por isso, há obrigatoriamente duas retas p e q que a projetividade relaciona com d, assim: p→d e d→q. Como sabemos há uma única cónica a passar por PQ e x.y=R e tal que p e q são tangentes.

Novos pontos sobre a cónica de que se dão três pontos e as tangentes em dois deles

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Retomamos nesta entrada a construção feita na entrada anterior, mas tomamos agora um ponto C de PQ diferente de RD.PQ
A polar c de C∈ PQ passará forçosamente por D, polo de PQ=d e pelo conjugado harmónico de C relativamente a P e Q, C₁ determinado sobre PQ: c=C₁D. Essa cónica é a mesma cónica associada à polaridade determinada pelo quadrângulo PQRS autoconjugados que admite ABC como triângulo diagonal auto-polar: A=RQ.c, B=RQ.c e S=AP.BQ ou seja (ABC)(Pp)
Fixado C sobre PQ, c é agora uma polar de C comum a todas as cónicas do "feixe" de cónicas que se tocam em P e Q. Pode verificar isso, fazendo variar unicamente R.
Sendo C₂= RC.c, RS é um par da involução (CC)(C₂C₂) sobre h=RC.
Concluímos assim que:
De todas as cónicas tangentes a duas retas em pontos dados, aquelas que encontram uma terceira reta (que não passe por quaisquer dos outros pontos) fazem-no em pares de pontos de uma involução.

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Repare que pode tomar qualquer ponto C sobre a reta d=PQ e, a cada posição de C corresponderá um ponto S de tal modo que RS é um par da involução (CC)(C₂C₂). Este resultado aponta o processo para determinar pontos da cónica definida por (ABC)(Pp).

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