"Feixe" de cónicas

Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos P,Q, R e pelas tangentes p e q em dois deles, P e Q respetivamente.
Na construção dinâmica desta entrada, a cónica fica determinada por (PQR)(Dp), em que p=DP. p=DP é a polar de P (ou tangente à cónica em P) e q=DQ é a polar de Q (ou tangente à cónica em Q) D=DP.DQ=p.q é polo de PQ. Sobre a reta PQ tomamos C=PQ.RD e, depois o seu conjugado harmónico C₁. Sobre a reta c=C₁D, tomamos A=c.RQ e B=c.RP. O ponto S=AQ.BP quarto vértice do quadrângulo PQRS que admite ABC como triângulo diagonal (auto-polar).

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Nas condições da construção, para cada (P,Q, R, D) há uma cónica a passar por P, Q e R da qual PD e QD são tangentes.
Faça variar unicamente R (deslocando na construção) e verifique que cada diferente posição de R corresponde uma única cónica e uma diferente reta c a passar por D.
As cónicas correspondentes às diferentes posições de R constituem um feixe de cónicas duplamente tangentes (em P e Q sendo as tangentes comuns DP e DQ). Este feixe de cónicas tem dois centros, no sentido de que todas as suas cónicas têm dois pontos em comum. As retas c formam um feixe centrado num só ponto D, no sentido de que que todas essas retas tem um só ponto em comum.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Cónica de que se conhecem 3 pontos e as tangentes em dois deles

Na última entrada, ao fazer a demonstração do Teorema de Steiner, tomámos 3 pontos sobre uma cónica - dois fixos P e Q e um outro variável R. E tomámos uma reta c a passar por D polo de uma reta PQ para polaridade associada à cónica da qual P e Q são pontos (auto-conjugados, portanto): Para uma dada posição de R, tomamos C=RD.PQ e a reta c=AB,em que A=RQ.c e B=RP.c e de tal modo que ABC seja o triângulo diagonal de um quadrângulo PQRS, ou seja, em que S=AP.BQ, convenientemente.
O ponto C₁=c.PQ é o polo da reta CD, e é o conjugado harmónico de C relativamente a P e Q.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Se não tivéssemos dado a cónica, mas, só os pontos P,Q, R e D, podíamos ter construído C=PQ.RD e o seu conjugado harmónico C₁. A reta c ficaria determinada como c=C₁ que nos daria A=c.RQ e B=c.RP e ficaria assim determinada uma cónica que pode ser descrita como ser descrita como o lugar geométrico dos pontos auto-conjugados (ou a envolvente das retas autoconjugadas) na polaridade (ABC)(Pp) em que p=PD (ou (ABC)(Qq) em que q=QD)
E podemos assim concluir: Uma cónica fica determinada por 3 dos seus pontos e pelas tangentes em dois deles.