Relação entre pontos conjugados e retas conjugadas por polaridade associada a cónica

Se um triângulo PQR está inscrito numa cónica, qualquer reta conjugada comum dos seus lados encontra os outros em pontos conjugados. (Teorema de Seydewitz)
De facto, uma reta conjugada com PQ é a polar de algum ponto C de PQ. Seja S o ponto de intersecção da reta RC com a cónica. Os pontos diagonais de o quadrângulo PQRS formam um triângulo auto-polar cujo lado c incide nos pontos A e B, conjugados, A incidente em QR e B inicidente em PR.

( Dualmente: De um triângulo circunscrito a uma cónica, qualquer ponto conjugado com um dos seus vértices liga-se aos outros dois vértices por retas conjugadas)

Na construção, consideramos R um ponto variável sobre a cónica e P e Q pontos fixos sobre a cónica e chamámos x a PR e y a PQ. Podemos deslocar R sobre a cónica e verificar que quando R coincide com P (ou com Q) x=y=d=PQ.
Sendo x e y retas a passar por pontos de uma cónica, R comum, variável, e outros dois fixos P e Q (x=PR e y=RQ), x e y são projetivas. (Teorema de Steiner)
Já sabemos que as tangentes p (em P) e q (em Q) se encontram em D=p.q que é o polo de PQ. Seja uma reta c que passe por D, mas não passe por P nem por Q.
Como x.c=B e y.c=A, AB é um par em involução de pontos conjugados em c. Fazendo variar R=x.y sobre a cónica verá que x→B→A→y x e y são projetivos, ficando concluida assim a demonstração do teorema de Steiner.

Sendo d=PQ e C₁=c.d, P e Q são posições possíveis para R. Quando R=P, y=d, A=C₁, B é ponto conjugado de D, e x=p. Do mesmo modo, quando R=Q, x=d, B=C₁, A=D e y=q. Quando y é d, x é p quando x é d, y é q
( Dualmente: Considere-se uma tangente a uma cónica, variável, que interseta duas outras tangentes à mesma cónica, fixas, em dois pontos X e Y. X e Y são projetivos)

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Coxeter. Introduction to Geometry, Wiley & Sons. NY:1969
Coxeter. Projective Geometry. Springer. NY:1994 " width="700">

Tangente a uma cónica por um ponto a ela exterior

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (negro) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ e P₁Q₁. P₁Q₁R₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).