Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado

Na entrada anterior, fixámos uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
Essa polaridade com pontos auto-conjugados pode ser bem descrita por (ABC)(Pp), em que P incide em p (P é auto-conjugado e p é auto-conjugada) e ABC é um triângulo auto-polar (i.e., as polares de A é a=BC, de B é b=AC e de C é c=AB). O problema agora é construir um triângulo auto-polar, uma reta p e sobre ela o seu polo P que fique associada a uma cónica. Para isso, retomamos a construção da entrada Polaridade a partir de um triângulo auto-polar, publicada a 26 de Maio de 2012, em que provámos que uma correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade. Na construção, que apresentamos a seguir, consideramos a correlação ABCP → abcp, em que a, b, c, são os lados opostos respetivamente a A, B, C e p é uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo, sendo P um ponto de p. O ponto P e a reta p correspondente, determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo ABC, a saber: P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é a polaridade (ABC)(Pp), sendo P o polo de p. P é um ponto de p, auto-conjugado.
Já sabemos que sobre p não há outros pontos autoconjugados, mas também sabemos que em cada reta tirada por P, que não seja p, há um e só um ponto conjugado de P e auto-conjugado na polaridade. Sobre cada uma das retas da figura que passam por P, determinamos os conjugados harmónicos de P: S relativamente a A e P_a, R relativamente a B e P_b, Q relativamente a C e P_c. P, Q, R e S são pontos auto-conjugados para a polaridade (ABC)(Pp), em que p é uma reta auto-conjugada.
A cónica associada passa por P, Q, R, S e p só tem um ponto autoconjugado que é P.

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Pode realizar esta construção e verificar que, nas condições da construção, A está nas retas RQ e PS, B e, S são vértices de um quadrângulo completo cujo triângulo diagonal é ABC. Para ilustrar estes factos, traçámos após todo o trabalho da construção, na figura as retas QS, RQ e RS.

Uma polaridade, uma cónica

Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:

• Se, por uma polaridade, ao ponto A corresponde uma reta a, chamamos a A polo da reta a e desta dizemos que é a polar de A.
• Por ser uma correlação projetiva, as polares dos pontos de a formam um feixe de retas passando por A.
• Qualquer polaridade dualiza incidências e isso signica que se A incide em b a sua polar a passa pelo polo B de b. Quando isto acontece dizemos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas.
• Se A incidir na sua polar a, diz-se que A é auto-conjugado: A pertence à sua polar a ou a passa pelo seu polo.
• Uma reta que tem dois pontos auto-conjugados não pode ser uma reta autoconjugada e
• Uma reta nunca pode ter mais que dois pontos auto-conjugados
• Uma polaridade induz uma involução de pontos conjugados em qualquer reta que não seja auto-conjugada. De facto, sobre uma reta c não auto-conjugado, a projetividade que faz corresponder a um ponto qualquer X o ponto Y de intersecção de c com a reta x polar de X transforma um ponto B não auto-conjugado num outro ponto A=c.b, cuja polar é BC e, do mesmo modo, transforma A em B. Esta projetividade permuta dois pontos de c é uma involução em c. Dualmente, as retas x e CX são emparelhadas pela involução de retas conjugadas tiradas por C.
• A um triângulo, em que cada vértice tem como polar o lado oposto (em que quaisquqer dois vértices são conjugados e quaisquer dois lados são retas conjugadas) chamamos triângulo auto-polar
• À semelhança do que pensámos para as involuções, podemos dividir as polaridades em dois tipos: as que admitem pontos auto-conjugados e as que não admitem qualquer ponto autoconjugado. Claro que é o mesmo que dizer se admitem ou não admitem retas auto-conjugadas.

Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.