Uma polaridade, uma cónica

Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:

• Se, por uma polaridade, ao ponto A corresponde uma reta a, chamamos a A polo da reta a e desta dizemos que é a polar de A.
• Por ser uma correlação projetiva, as polares dos pontos de a formam um feixe de retas passando por A.
• Qualquer polaridade dualiza incidências e isso signica que se A incide em b a sua polar a passa pelo polo B de b. Quando isto acontece dizemos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas.
• Se A incidir na sua polar a, diz-se que A é auto-conjugado: A pertence à sua polar a ou a passa pelo seu polo.
• Uma reta que tem dois pontos auto-conjugados não pode ser uma reta autoconjugada e
• Uma reta nunca pode ter mais que dois pontos auto-conjugados
• Uma polaridade induz uma involução de pontos conjugados em qualquer reta que não seja auto-conjugada. De facto, sobre uma reta c não auto-conjugado, a projetividade que faz corresponder a um ponto qualquer X o ponto Y de intersecção de c com a reta x polar de X transforma um ponto B não auto-conjugado num outro ponto A=c.b, cuja polar é BC e, do mesmo modo, transforma A em B. Esta projetividade permuta dois pontos de c é uma involução em c. Dualmente, as retas x e CX são emparelhadas pela involução de retas conjugadas tiradas por C.
• A um triângulo, em que cada vértice tem como polar o lado oposto (em que quaisquqer dois vértices são conjugados e quaisquer dois lados são retas conjugadas) chamamos triângulo auto-polar
• À semelhança do que pensámos para as involuções, podemos dividir as polaridades em dois tipos: as que admitem pontos auto-conjugados e as que não admitem qualquer ponto autoconjugado. Claro que é o mesmo que dizer se admitem ou não admitem retas auto-conjugadas.

Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.

Definição projetiva de cónicas

O nosso estudo (dos últimos meses) e as nossas construções em geometria projetiva plana quase exclusivamente consideraram pontos e certos subconjuntos de pontos (retas) do plano. As figuras do plano em que trabalhámos foram sempre definidas e constituídas por pontos e retas - triângulos (três pontos e três retas), quadrângulos (quatro pontos e seis retas ou quatro retas e seis pontos), etc - e as relações de incidência (por dois pontos passa uma reta, duas retas intersetam-se num ponto, ligar ou juntar, encontrar-se,etc). E definimos as transformações projetivas (a começar pelas perspetividade e projetividade do plano em que as imagens de pontos são pontos e de retas são retas, etc e pelas quais as relações de incidência entre pontos e retas são preservadas).

• Perspetividades
  
  1. Sejam duas retas a e b relacionadas por uma perspetividade, para a qual A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... em que os pontos A_i incidem em a e B_i incidem em b. O lugar geométrico dos pontos de interseção das retas A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... reduz-se a um ponto A que é chamado o centro dessa perpetividade. Por isso, se fala de uma perspetividade relativamente a um ponto (ou centro). Como já vimos antes as razões cruzadas (A₁, A₂; A₃, A₄) e (B₁, B₂; B₃, B₄) são iguais. E por via desta invariância dizemos que essa é a razão cruzada (A₁B₁, A₂B₂; A₃B₃, A₄B₄) do feixe das retas de centro A.
  2. De modo análogo, dualmente:
     Sejam dois pontos A e B e os feixes de retas a₁, a₂, ..., a_i, ... passando por A e b₁, b₂, ..., b_i, ...por B, relacionados por uma perspetividade para a qual a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas a₁.b₁, a₂.b₂, ..., a_i.b_i, ... é uma reta a. Por isso se fala de perspetividade de dois feixes relativamente a uma reta. Como já vimos antes, são iguais as razões cruzadas (a₁, a₂; a₃, a₄), (b₁, b₂; b₃, b₄) e (a₁.b₁, a₂.b₂; a₃.b₃, a₄.b₄).
• Projetividades
  Na construção que se segue, pode ver-se a ilustração equivalente para projetividades (não perspetivas)
  Na construção dinâmica acima, há dois feixes, um centrado em A e outro em B; do primeiro tomamos uma secção pela reta a e do segundo uma secção pela reta b, nas seguintes condições:
  a₁→A₁, a₂→A₂, ..., a_i→A_i, ...
  A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... é uma projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
  B₁→b₁, B₂→b₂, ..., B_i→b_i, ...
  garantindo assim que a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... é uma projetividade entre os dois feixes
  As razões cruzadas entre quaternos de retas dos feixes é o mesmo número que tomam as iguais razões entre os quaternos de pontos de qualquer das secções por a e b dos feixes centrados em A e B.
  1. Da projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
     A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ...
     resulta que A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... não constituem um feixe, mas cada uma delas tem um só ponto de contacto com uma cónica, a vermelho na construção (?).
     Se quisermos, o conjunto desses pontos de contacto forma uma pontual de 2ª ordem (noção até agora não considerada) e que se distingue das pontuais de 1ª ordem sobre retas. Uma cónica aparece como envolvente das retas entre pontos (de pontuais de 1ª ordem) relacionadas por uma projetividade (não perspetividade). Há autores que consideram as cónicas como feixes de 2ª ordem.
  2. Da projetividade entre os feixes centrados em A e em B
     a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ...
     resulta que os pontos de interseção das retas correspondentes U = a₁.b₁, D = a₂.b₂, T = a₃.b₃, Q = a₄.b₄, ..., I = a_i.b_i, ... não são pontos colineares, mas são pontos de uma cónica, a preto na construção.
     Dizemos que estes pontos de interseção formam uma pontual de 2ª ordem e há autores que definem as cónicas como pontuais de 2ª ordem, obtidas como intersecções de retas de dois feixes de 1ª ordem com centros diferentes, projetivos e não perspetivos.