Definição projetiva de cónicas

O nosso estudo (dos últimos meses) e as nossas construções em geometria projetiva plana quase exclusivamente consideraram pontos e certos subconjuntos de pontos (retas) do plano. As figuras do plano em que trabalhámos foram sempre definidas e constituídas por pontos e retas - triângulos (três pontos e três retas), quadrângulos (quatro pontos e seis retas ou quatro retas e seis pontos), etc - e as relações de incidência (por dois pontos passa uma reta, duas retas intersetam-se num ponto, ligar ou juntar, encontrar-se,etc). E definimos as transformações projetivas (a começar pelas perspetividade e projetividade do plano em que as imagens de pontos são pontos e de retas são retas, etc e pelas quais as relações de incidência entre pontos e retas são preservadas).

• Perspetividades
  
  1. Sejam duas retas a e b relacionadas por uma perspetividade, para a qual A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... em que os pontos A_i incidem em a e B_i incidem em b. O lugar geométrico dos pontos de interseção das retas A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... reduz-se a um ponto A que é chamado o centro dessa perpetividade. Por isso, se fala de uma perspetividade relativamente a um ponto (ou centro). Como já vimos antes as razões cruzadas (A₁, A₂; A₃, A₄) e (B₁, B₂; B₃, B₄) são iguais. E por via desta invariância dizemos que essa é a razão cruzada (A₁B₁, A₂B₂; A₃B₃, A₄B₄) do feixe das retas de centro A.
  2. De modo análogo, dualmente:
     Sejam dois pontos A e B e os feixes de retas a₁, a₂, ..., a_i, ... passando por A e b₁, b₂, ..., b_i, ...por B, relacionados por uma perspetividade para a qual a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas a₁.b₁, a₂.b₂, ..., a_i.b_i, ... é uma reta a. Por isso se fala de perspetividade de dois feixes relativamente a uma reta. Como já vimos antes, são iguais as razões cruzadas (a₁, a₂; a₃, a₄), (b₁, b₂; b₃, b₄) e (a₁.b₁, a₂.b₂; a₃.b₃, a₄.b₄).
• Projetividades
  Na construção que se segue, pode ver-se a ilustração equivalente para projetividades (não perspetivas)
  Na construção dinâmica acima, há dois feixes, um centrado em A e outro em B; do primeiro tomamos uma secção pela reta a e do segundo uma secção pela reta b, nas seguintes condições:
  a₁→A₁, a₂→A₂, ..., a_i→A_i, ...
  A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... é uma projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
  B₁→b₁, B₂→b₂, ..., B_i→b_i, ...
  garantindo assim que a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... é uma projetividade entre os dois feixes
  As razões cruzadas entre quaternos de retas dos feixes é o mesmo número que tomam as iguais razões entre os quaternos de pontos de qualquer das secções por a e b dos feixes centrados em A e B.
  1. Da projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
     A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ...
     resulta que A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... não constituem um feixe, mas cada uma delas tem um só ponto de contacto com uma cónica, a vermelho na construção (?).
     Se quisermos, o conjunto desses pontos de contacto forma uma pontual de 2ª ordem (noção até agora não considerada) e que se distingue das pontuais de 1ª ordem sobre retas. Uma cónica aparece como envolvente das retas entre pontos (de pontuais de 1ª ordem) relacionadas por uma projetividade (não perspetividade). Há autores que consideram as cónicas como feixes de 2ª ordem.
  2. Da projetividade entre os feixes centrados em A e em B
     a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ...
     resulta que os pontos de interseção das retas correspondentes U = a₁.b₁, D = a₂.b₂, T = a₃.b₃, Q = a₄.b₄, ..., I = a_i.b_i, ... não são pontos colineares, mas são pontos de uma cónica, a preto na construção.
     Dizemos que estes pontos de interseção formam uma pontual de 2ª ordem e há autores que definem as cónicas como pontuais de 2ª ordem, obtidas como intersecções de retas de dois feixes de 1ª ordem com centros diferentes, projetivos e não perspetivos.

Posições harmónicas numa reta

Em "Perpectives on Projective Geometry", Richter-Gebert escreve que há algumas (poucas) coleções notáveis de posições relativas de pontos que geram conjuntos harmónicos e apresenta como exemplo uma coleção de equações em x e y, a saber:

1. (-x, x; 0, ∞) = -1
2. (0, 2x; x, ∞) = -1
3. (x, y; (x+y)/2, ∞) = -1
4. (-1, 1; 0x, 1/x) = -1
5. (-x, x; 1, x2) = -1

em que para facilitar se identificam pontos numa reta com correspondentes números reais incluindo o ponto ∞ para o ponto no infinito.
Para explicitar, começa por verificar que para um ponto x arbitrário (ou número real arbitrário), recorrendo à definião de razão cruzada e às operações com expressões algébricas de variável real,
(-x, x; 1, x2) = -1, no seguinte sentido
(-x, x; 1, x2)=[(1+x).(x2-x)]/[(x2+x).(1-x)]=[(1+x).x.(x-1)] /[x.(x+1).(1-x)]=-1
Por exemplo, o par (1,4) separa harmonicamente o par (-2,2), Fixados -2, 2, 1 a posição 4 é interseção de -2'2'.r não dependendo de O nem de P (este último ponto arbitrario de 1P).