Colineações projetivas. Quadriláteros.

(1) A única projetividade que transforma quatro retas lados de um quadriátero completo em si mesmas é a identidade. Do mesmo modo, a identidade é a única colineação projetiva que transforma quatro pontos vértices de um quadrângulo completo em si mesmos.
Para este resultado ( e os outros, claro!) com quadriláteros convém ter presentes os seguintes axiomas
(a) Os três pontos diagonais de um quadrilátero completo nunca são colineares.
e
(b) Se uma projetividade deixa invariantes cada um de três pontos distintos sobre uma reta, então qualquer ponto da reta é imagem de si mesmmo por essa projetividade.

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(2)Entre quaiquer dois quadriláteros completos (ou quadrângulos) com os quatro lados (vértices) correspondentes por uma dada ordem, só há uma colineação projetiva que transforma um no outro.
Constrói-se.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Notas de demonstração:
a) Exige-se uma dada ordem para os lados correspondentes para só termos 4 pares de pontuais projetivas que poderá verificar conduzem a uma única colineação (e evitar 24 possíveis combinações se não estabelecermos essa ordem).

b) Claro que podemos definir uma projetividade entre as pontuais DAF e D'A'F'e entre DCE e D'C'E' definidas na construção. Do mesmo modo, relacionaríamos CBF com C'B'F' e ABE com A'B'E'.
Tomemos agora uma reta a. E suponhamos que a=XY em que X está em DE e Y ou DF. As projetividades entre DAF e D'A'F' e entre DCE e D'C'E' determinam a'=X'Y', sendo DCEX e D'C'E'X' projetivos, bem assim DAFY e D'A'F'Y'.
Para provar que a correspondência entre a e a' é uma colineação, temos de verificar que relaciona pontos com pontos e de tal modo que a incidência seja preservada. Para isso, considera-se a como reta de um feixe de tal modo que X e Y sejam perspetivos. Por construção de a', temos que X' é imagem de X e Y' é imagem de Y por projetividade. E como D é o invariante para a perspetividade X→Y, D' é o invariante para a perspetividade X'→Y'.
Tal como a, a' também é uma reta de um feixe o que quer dizer que retas concorrentes são transformadas em retas concorrentes. Uma projetividade X→X' chegou para garantir uma transformação reta a reta e ponto a ponto que preserva a incidência: a→a' é uma colineação.

c) Preciso será ainda provar que esta colineação projetiva que leva de ABCDEF para A'B'C'D'E'F' é única, o que se faz por absurdo recorrendo ao resultado enunciado imediatamente antes deste.

Colineações projetivas. Triângulos.

Depois de apresentadas as transformações projetivas básicas (projetividades e perspetividades), referiremos e estudaremos algumas designações e propriedades de transformações projetivas particulares que vão ser utilizadas.

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(a) Uma colineação é uma transformação (do plano no plano) de ponto a ponto ou de reta a reta que preserva a relação de incidência. Transforma pontuais em pontuais, feixes em feixes, quadriláteros em quadriláteros, etc.
As translações, rotações, reflexões, dilações são exemplos conhecidos de colineações.
(b) A inversa de uma colineação é uma colineação, a identidade é uma colineação e a composta (ou produto) de duas colineações é uma colineação.

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Uma colineação projetiva transforma pontuais (e feixes) projetivamente no sentido de que, se transforma os pontos X de uma reta x em pontos X' de x', a relação entre X e X' é uma projetividade (bem como a relação entre x e x').

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(c) Vejamos um exemplo de colineação projetiva

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Sejam x e y as retas correspondentes por projetividade. A construção X> → Y dá um processo geral para definir uma projetividade entre os pontos de x e os pontos de y, partir de uma composta de perspetividades, com recurso a uma reta z auxiliar e centros O₁ e O₂ não incidentes em qualquer dessas retas. Pode deslocar X em x para verificar que
∀ X∈ x, ∃¹Y∈y: Y é obtido de X por projetividade.

ilustração estática *.png a partir da construção dinâmica interactiva original realizada com Cinderella

Com recurso à projetividade que relaciona ponto a ponto as retas x e y, pudemos estabelecer ou construir uma relação biunívoca ente os pontos de outras duas quaisquer retas a e a' b e b', c e c', isto é, a projetividade entre x e y induz uma colineação entre dois triângulos (a,b,c) e (a',b',c') (ABC e A'B'C') . Tomámos dois pontos O e O' não incidentes em quaisquer das retas anteriormente consideradas. Seja P um ponto qualquer (variável) da reta a=BC. Determinamos P₁ sobre x, P₁=PO.x e pela projetividade entre x e y, determinamos o correspondente P₂ de P₁. Finalmente determinamos P' sobre a', P'=P₂O'.a'. Pode deslocar P sobre a para confirmar que P' se desloca sobre a', que quando P=B, P'=B', ... Do mesmo se procede para os pontos das retas b e c

em a=BC, P persp_O P₁ proj P₂ persp_O'P' em a'=B'C': P→P' por uma projetividade
em b=AC, Q persp_O Q₁ proj Q₂ persp_O'Q' em b'=A'C'
em c=AB, R persp_O R₁ proj R₂ persp_O'R' em b'=A'B' .
Concluindo: uma projetividade de x em y induz uma colineação como uma transformação f ponto a ponto e reta a reta que preserva a incidência transformando projetivamente um triângulo noutro:
∀ (l,l'), ∀ L∈ l., .∃¹L'∈l': f(L)=L'. Claro que f^-1(L')=L. Repare que A=AB.AC e A'=A'B'.A'C',… como é óbvio