Demonstração do Teorema de Desargues

Duas pontuais ou dois feixes dizem-se perspetivos quando estão relacionados por uma perspetividade. Esta noção estende-se a figuras envolvendo mais do que um ponto e mais do que uma reta. Dois exemplares de uma figura da mesma espécie dizem-se perspetivos se entre os seus pontos se pode estabelecer uma correspondência um para um que seja tal que os pares de pontos correspondentes estão sobre retas concorrentes ou se entre as suas retas se pode estabelecer uma correspondência uma a uma que seja tal que os pares de retas correspondentes se intersetam em pontos colineares.
Na construção abaixo há dois triângulos PQR e P'Q'R' perspetivos já que os lados correspondentes PP', QQ' e RR' incidem no ponto O. Será que os lados correspondentes se intersetam em pontos colineares? Como se vê na figura, D=RQ.R'Q', E=PR.P'R' e F=PQ.P'Q'. A figura sugere que são colineares. Serão?
Na construção, tomámos A=OP.DE, B=OQ.DE e C=OR.DE e, por isso OPAP' é perspetivo (por E) a ORCR' que, por sua vez, é perspetivo (por D) a OQBQ'. Assim podemos dizer que O é imagem de si mesmo pela projetividade entre as pontuais PAP' e QBQ' e, conforme já vimos antes, esta projetividade é uma perspetividade. O centro desta perspetividade só pode ser F e este está sobre AB que é DE. Assim D, E e F são colineares.
Acabamos de demonstrar que se dois triângulos são perspetivos em relação a um ponto são perspetivos em relação a uma reta.

[A.A.M.] Este resultado, agora demonstrado, é o que chamámos Teorema de Desargues, que assim pode deixar de ser considerado axioma.
Alguns axiomas foram sendo referidos e, entre estes, referíamos o Teorema de Desargues como axioma e, a partir dele, demonstrávamos o dual.

Dual do Teorema de Pappus

O dual do teorema de Pappus pode ser enunciado como segue:
Se os seis lados de um hexágono passam alternadamente por dois pontos, as três diagonais são concorrentes
Se tomarmos o hexágono definido pela sequência de lados ab'ca'bc', as suas três diagonais serão (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b')


[A.A.M.] Se o teorema de Pappus tem a ver com o eixo de projetividade entre pontuais iniciado anteriormente, o seu dual tem a ver com o centro da projetividade entre feixes, também já iniciado em anterior publicação
Se dois feixes de retas a,b,c por R e a',b',c' por S então as retas (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b') são concorrentes
Aqui fica a figura publicada para o centro de projetiivdade entre feixes. É um exercício interessante fazer a dualização da demonstração do Teorema de Pappus como demonstração do dual.