Dual do Teorema de Pappus

O dual do teorema de Pappus pode ser enunciado como segue:
Se os seis lados de um hexágono passam alternadamente por dois pontos, as três diagonais são concorrentes
Se tomarmos o hexágono definido pela sequência de lados ab'ca'bc', as suas três diagonais serão (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b')


[A.A.M.] Se o teorema de Pappus tem a ver com o eixo de projetividade entre pontuais iniciado anteriormente, o seu dual tem a ver com o centro da projetividade entre feixes, também já iniciado em anterior publicação
Se dois feixes de retas a,b,c por R e a',b',c' por S então as retas (a.b')(b.a'), (a.c')(c.a') e (b.c')(c.b') são concorrentes
Aqui fica a figura publicada para o centro de projetiivdade entre feixes. É um exercício interessante fazer a dualização da demonstração do Teorema de Pappus como demonstração do dual.

De outro modo, enunciar e demonstrar o Teorema de Pappus

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Para Coxeter, chama-se hexágono a um conjunto de seis pontos (vértices) sem exigir que não haja ternos de pontos colineares. Nestas condições, o teorema de Pappus pode aparecer enunciado assim:
Se os seis vértices de um hexágono estão alternadamente sobre um par de retas, então os três pares de lados opostos encontram-se em três pontos colineares.
Tomam-se ABC sobre a reta r e A'B'C' sobre a reta s e o hexágono AB'CA'BC', do qual os pares de lados opostos são B'C e BC', C'A e CA', A'B e AB' cujas interseções estão marcadas na construção abaixo, como L=B'C.BC', M=C'A.CA', N=A'B.AB'.
Se considerarmos a projetividade entre as pontuais ABC e A'B'C' para a qual A' é imagem de A, B'de B e C' de C, a figura sugere que L, M e N estão sobre o eixo dessa projetividade (a vermelho na figura). Será que L, M, N são mesmo colineares?


[A.A.M.] Demonstração: Na construção agora considerada, acrescentaram-se os pontos J=AB'.CA', E=AB.A'B' e K=AC'.CB'.
Fácil é ver que ANJB' é perspetivo por A' com ABCE que, por sua vez é perspetivo com KLCB' por C'.
Assim, como a composta de duas perspetividades é uma projetividade, podemos concluir que para a projetividade entre as pontuais ANJ e KLC, B' é ponto duplo (imagem de si mesmo). Se tem um ponto duplo B', esta projetividade é uma perspetividade por M, e M incide em NL, o que é o mesmo que dizer que L,M,N são colineares