Uma sequência especial de pontos harmonicamente relacionados

Afinal uma rede harmónica não é mais que um conjunto de no mínimo três pontos que inclui, para cada terno dos seus pontos, o conjugado harmónico de cada um relativamente aos outros dois. Na entrada anterior, definimos rede harmónica ou rede de racionalidade (tradução literal de "harmonic net" e "net of rationality" usadas em Projective Gometry - Coxeter, que seguimos no nosso estudo acompanhado das nossas construções dinâmicas).

Nesta entrada, construímos um conjunto numerável de pontos harmonicamente relacionados com ABZ, em que cada ponto novo sucede ao anterior.

[A.A.M.]
O procedimento especial aqui seguido pode ser descrito como segue:
Tomados A, B e Z, consideramos uma reta arbitrária tirada por Z e sobre ela dois pontos P e R arbitrários. Tomado A'=AP.BR, traçamos a reta ZA'. E tomamos os pontos B'=BP.A'Z, Q=AR.ZA'.
O quadrilátero completo B'RQS da figura, em que C=RB'.AZ e S=QC.AB', prova a relação harmónica H(AC,BZ).

O procedimento para obter D é semelhante:
C'=CP.A'Z para obter sobre AZ o ponto D=RC'.AZ; D'=DP.A'Z para obter E=RD'.AZ,; etc
As relações construídas por este processo (e verificadas de forma análoga à H(AC,BZ) ou H(BZ, AC) são H(CZ,BD), H(DZ,CE), ...

Esta sequência A, B, C, D, E, ... assim construída depende exclusivamente de A, B, Z e é independente da escolha dos pontos auxiliares P e R (pontos que pode deslocar na figura para ver que esta sequência de pontos relacionados harmonicamente com A, B, Z é única, para o procedimento descrito).

Este procedimento leva a um subconjunto da rede de racionalidade R(ABZ). Neste caso entre quaisquer dois termos consecutivos da sequência não há termos relacionados harmonicamente com A, B, Z (à semelhança do que acontece no conjunto dos naturais como subconjunto dos racionais).

Como é óbvio a pontual A', B', C' D',... é perspetiva de centro P com a pontual A, B, C, D,... Como esta é uma rede harmónica também é harmónica a pontual A', B' C', D', ...

Pontual de pontos harmonicamente relacionados

Um ponto P diz-se harmonicamente relacionado com 3 pontos colineares distintos A,B,C, se P puder ser obtido como membro de uma sequência de pontos iniciada com A,B,C definida do seguinte modo: cada ponto após C forma um conjunto harmónico com quaisquer três pontos (e por qualquer ordem) que o antecedam.
Ao conjunto de todos os pontos harmonicamente relacionados com ABC damos o nome de rede harmónica e designa-se por R(ABC) (ou R(BCA) ou R(CAB)...)


[A.A.M.]
Na figura acima, está construída uma pontual satisfazendo as condições de uma rede R(ABC). Incluímos os quadriláteros completos utilizados com indicação das diversas relações harmónicas estabelecidas para obter cada ponto da rede. De certo modo, uma rede harmónica é um conjunto, tão pequeno quanto possível, com um mínimo de 3 pontos colineares que incluirá, para cada terno dos seus elementos, o conjugado harmónico de cada um deles relativamente aos outros dois.
Claro que percebemos que o procedimento parte de 3 pontos de uma pontual, que se podem obter novos pontos indefinidamente e que entre dois pontos da rede se podem obter novos pontos. Por isso, a esta rede se chama também rede de racionalidade. E fica por responder a pergunta sobre se, por este processo recorrente se obtêm todos os pontos da reta (base da pontual). Sim ou não? Depende.

1) Como a projetividade transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos, também transforma qualquer rede harmónica numa rede harmónica.

2) Se uma projetividade deixa invariantes cada um dos três pontos distintos A,B,C de uma pontual, também deixa invariantes cada um dos pontos da rede harmónica R(ABC).

3) Uma reta harmónica fica igualmente bem determinada por quaisquer três dos seus pontos
Será que fica univocamente determinada uma rede harmónica (ou de racionalidade) pelos seus primeiros três pontos?