Pontual de pontos harmonicamente relacionados

Um ponto P diz-se harmonicamente relacionado com 3 pontos colineares distintos A,B,C, se P puder ser obtido como membro de uma sequência de pontos iniciada com A,B,C definida do seguinte modo: cada ponto após C forma um conjunto harmónico com quaisquer três pontos (e por qualquer ordem) que o antecedam.
Ao conjunto de todos os pontos harmonicamente relacionados com ABC damos o nome de rede harmónica e designa-se por R(ABC) (ou R(BCA) ou R(CAB)...)


[A.A.M.]
Na figura acima, está construída uma pontual satisfazendo as condições de uma rede R(ABC). Incluímos os quadriláteros completos utilizados com indicação das diversas relações harmónicas estabelecidas para obter cada ponto da rede. De certo modo, uma rede harmónica é um conjunto, tão pequeno quanto possível, com um mínimo de 3 pontos colineares que incluirá, para cada terno dos seus elementos, o conjugado harmónico de cada um deles relativamente aos outros dois.
Claro que percebemos que o procedimento parte de 3 pontos de uma pontual, que se podem obter novos pontos indefinidamente e que entre dois pontos da rede se podem obter novos pontos. Por isso, a esta rede se chama também rede de racionalidade. E fica por responder a pergunta sobre se, por este processo recorrente se obtêm todos os pontos da reta (base da pontual). Sim ou não? Depende.

1) Como a projetividade transforma conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos, também transforma qualquer rede harmónica numa rede harmónica.

2) Se uma projetividade deixa invariantes cada um dos três pontos distintos A,B,C de uma pontual, também deixa invariantes cada um dos pontos da rede harmónica R(ABC).

3) Uma reta harmónica fica igualmente bem determinada por quaisquer três dos seus pontos
Será que fica univocamente determinada uma rede harmónica (ou de racionalidade) pelos seus primeiros três pontos?

Exercício Interativo: Polo trilinear de uma reta

A reta p corta os lados do triângulo ABC. Determine o polo trilinear P da reta p no sentido dual da definição e da construção descrita e feita na entrada anterior. ....................... Sugestão:
Tome P'_a=p.BC. E determine P_a: H(BC,P'_aP_a). Depois determine P_b e P_c.
Para pensar:
a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares trilineares para quando o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?
b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um triângulo ABC dado.

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Já apresentámos o problema resolvido em geral mais do que uma vez. Por exemplo, em da polar trilinear ao polo (de 2009) que transcrevemos:
A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_b e CP_c intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p