Projetividade entre duas pontuais com a mesma base

Consideremos as pontuais A,  B ,  C  e  A',  B',  C',tendo por base a mesma reta. Vamos determinar a projetividade A→A',  B→B',  C→C', usando feixes de retas e pontuais como secções de feixes.
Comecemos por tomar um ponto V em que não incide a reta dos pontos A,  B,  C,  A',  B',  C'. 
E consideremos o feixe VA',  VB',  VC'.
Tomamos a pontual A₁,  B₁,  C₁ secção do feixe centrado em V por  s (auxiliar). Obviamente que A', B' ,C'  e  A₁,  B₁,  C₁ são V-perspetivos.
Teremos agora de arranjar uma pontual A₂,  B₂ ,  C₂, que é secção comum aos feixes AA₁,  AB₁,  AC₁ (por A)  e A₁A,  A₁B,  A₁C (por A₁), seguindo um processo já antes usado.


Assim:
- pela perspetividade centrada em A₁,
A→A₂,   B→B₂ ,  C→C₂;
- pela perspetividade centrada em A,
A₂→A₁,    B₂→B₁,   C₂→C₁;
- pela perspetividade centrada em V,
A₁ →A', B₁→B', C₁→C'
Concluindo:
A→A',   B→B',   C→C'.

Outra forma de definir a projetividade entre duas pontuais

Nas últimas entradas, tratámos de determinar a projetividade entre duas pontuais ABC e DEF (ou entre dois feixes abc e def).
Para isso considerámos que A→D, B→E e C→F. Em seguida tomámos os feixes por A: AD, AE, AF e por D: DA,DB,DC. Traçámos a reta que incide nos pontos de interseção de AE com DB e AF com DC. Ficando assim definidas duas perpetividades entre as pontuais ABC e DEF para a secção comum dos feixes por A e por D.
A projetividade entre as pontuais ABC e DEF aparece como a composta das duas perspetividades. Note-se que essa projetividade não é uma perspetividade, já que AD,BE e CF não têm qualquer ponto em comum.
Na figura que se segue, não vamos tomar perspetividades centradas em A e D. Tomamos pontos quaisquer sobre BE (podia ser sobre AD ou sobre CF), a saber: O₁ e O₂ e os feixes O₁A, O₁B, O₁C e O₂D, O₂E, O₂F, definindo uma reta intermédia incidindo em I=O₁A∩ O₂D K=O₁C∩O₂F. Tomamos ainda J na interseção de O₁O₂ com a reta intermédia.
A projetividade fica definida A→I→D, B→J→E e C→K→F.
Obtivemos assim a projetividade como produto de duas perspetividades. Se mover os pontos O₁ ou O₂, verá que a projetividade se pode decompor em duas perspetividades de uma infinidade de modos.