Projetividade

Na construção acima, tomamos uma transformação obtida pela combinação de três correspondências elementares (introduzidas na mensagem anterior). Para isso, usámos uma sequência de retas e pontos (alternadamente):

o,O, o₁, O₁, o₂, O₂,o₃, O₃, ... , o_n-1, O_n-1, o_n, O_n

Claro que tomamos os pontos O_n não incidentes em qualquer das retas o_n para que as correspondências X⁽ⁿ⁾ para x⁽ⁿ⁾ sejam biunívocas, ligando pontos da fileira de pontos X em o (ou o feixe de retas x passando por O) com o feixe das retas x⁽ⁿ⁾ passando por O_n (ou a fileira dos pontos X⁽ⁿ⁾ da reta o_n) . A esta transformação dá-se o nome de projetividade. E em vez de escrever

X→x→X'→x'→X''→x''→X'''→ ... → x^(n-1) →X⁽ⁿ⁾

escrevemos simplesmente
X →X⁽ⁿ⁾ ou x →X⁽ⁿ⁾ ou X→x⁽ⁿ⁾

Feixes e fileiras

A um conjunto de pontos distintos sobre uma mesma reta r chamamos uma fileira (ou pontual) da reta. A um conjunto de retas distintas que passam por um mesmo ponto R chamamos feixe de retas por R.
Na construção seguinte, temos uma reta r e um ponto R não incidentes. Siga as instruções:

1. Clique no botão fileira
• e observe o que acontece
2. clique de novo no botão fileira para ocultar e, em seguida, clique no botão feixe
• e observe o que acontece.
3. Finalmente mantenha os dois botões ativos

Repare que o feixe de retas a,b,c corta a reta r nos pontos A, B, C. E, por isso, podemos dizer que a fileira A,B C é a secção por r do feixe tirado por R. Se r não incide em R, há uma correspondência um a um entre A,B,C e as retas a,b,c do feixe (por A e R passa uma só reta a). A reter: há uma correspondência biunívoca em que para cada X da fileira de r, há uma só reta do feixe por R que passa por X e, em que, para cada reta x do feixe por R há um só ponto X da fileira de r.


Nota: Agradecemos a José Manuel Santos dos Santos (do IGP) que nos livrou de uma intrigante janela algébrica que se sobrepunha à construção.