Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e reflexão deslizante e meias voltas

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{2v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão deslizante associada ao vetor $\vec{v}$ e reflexões associadas a espelhos com as direções de $\vec{u}$ (perpendicular à direção de $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão e de reflexão deslizante.
• deixamos ainda um ponto vermelho que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível; como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que não estão sobre eixos de reflexão.

À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmg
em que o g da 3ª posição se refere às reflexões deslizantes associadas a $\vec{v}$

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e meias voltas

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão associadas a espelhos perpendiculares, aliás com as direções de $\vec{u}$ e $\vec{v}$. O comprimento destes vetores está relacionado com a distância entre espelhos paralelos consecutivos (verticais para $\vec{u}$ e horizontais para $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão.
• deixamos ainda um ponto verde que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que estarão todos sobre eixos de reflexão.

À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmm
em que o m da 3ª posição se refere às reflexões de eixos horizontais