Além de translações do plano uma reflexão deslizante

Nesta entrada, ilustramos um padrão plano que, para além das translações associadas a dois vetores independentes, tem simetria de reflexão deslizante. No caso, a um vetor $\vec{u}$ associámos uma reflexão deslizante ($g$ de glide) e já sabemos que $g \circ g= g^2=t_{2u}$. A outro vetor $\vec{v}$ está associada a translação $t_{v}$. De resto, são simetrias deste grupo todas as translações associadas às combinações lineares $2m\vec{u}+n\vec{v}$, em que $m, n \in \mathbb{Z}$.

Clicando sobre o botão u pode ver o vetor $\vec{u}$ e, fazendo deslocar o ponto verde que aparece, confirmar a reflexão deslizante associada a $\vec{u}$ e a simetria de translação associada a $2\vec{u}$.
Clicando sobre o botão v, pode ver o vetor $\vec{v}$ e, deslocando o ponto azul que aparece, confirmar a simetria de translação associada a $\vec{v}$.

Das restantes simetrias de translação, mostramos dois exemplos de outros vetores que são combinações lineares de $2\vec{u}$ e $\vec{v}$.

pg

Além das translações, meias voltas

Na entrada anterior, o motivo mínimo era o raminho de carvalho e o papel de parede era gerado por duas translações associadas a vetores não paralelos. O grupo de simetrias ilustrado nesse papel de parede era um conjunto de translações munido da composição de transformações, a saber: $(\left\{t_{m.\vec{u}+n.\vec{v}} :m,n \in \mathbb{Z} \right\}, \circ)$.
A classificação p1, a ele referida, justifica~se por não haver simetrias de reflexão nem simetrias de rotação, para além da trivial rotação de $360^o$ - 1.

Nesta entrada, o motivo mínimo é um triângulo escaleno e é fácil ver que às combinações lineares de dois vetores acrescentamos meias voltas. Clicando no botão "vetores das translações", poderá ver os vetores das translações, sem modificar as suas direções e comprimentos. E não mais do que isso. A verificação das simetrias de translação funciona exactamente da mesma maneira que na entrada anterior.
Se clicar no botão "meia volta" pode mesmo rodar a figura de sombras e verificar que há simetrias de meias voltas. Se chamarmos $r$ à rotação de amplitude $180^o$, o grupo das simetrias ilustrado no papel de parede a seguir é constituido pelo conjunto das translações $\left\{t_{m.u+n.v} \circ r^k : m, n, k \in \mathbb{Z}\right\}$. E a classificação é (ou pode ser)

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