Além das translações, meias voltas

Na entrada anterior, o motivo mínimo era o raminho de carvalho e o papel de parede era gerado por duas translações associadas a vetores não paralelos. O grupo de simetrias ilustrado nesse papel de parede era um conjunto de translações munido da composição de transformações, a saber: $(\left\{t_{m.\vec{u}+n.\vec{v}} :m,n \in \mathbb{Z} \right\}, \circ)$.
A classificação p1, a ele referida, justifica~se por não haver simetrias de reflexão nem simetrias de rotação, para além da trivial rotação de $360^o$ - 1.

Nesta entrada, o motivo mínimo é um triângulo escaleno e é fácil ver que às combinações lineares de dois vetores acrescentamos meias voltas. Clicando no botão "vetores das translações", poderá ver os vetores das translações, sem modificar as suas direções e comprimentos. E não mais do que isso. A verificação das simetrias de translação funciona exactamente da mesma maneira que na entrada anterior.
Se clicar no botão "meia volta" pode mesmo rodar a figura de sombras e verificar que há simetrias de meias voltas. Se chamarmos $r$ à rotação de amplitude $180^o$, o grupo das simetrias ilustrado no papel de parede a seguir é constituido pelo conjunto das translações $\left\{t_{m.u+n.v} \circ r^k : m, n, k \in \mathbb{Z}\right\}$. E a classificação é (ou pode ser)

p2
p2

De um friso (p111) para um papel de parede (p1)

Tome-se o friso da entrada anterior. Por translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ (independentes) aplicadas à figura
(motivo mínimo, "primitive(?)"),
obtém-se o padrão plano que se ilustra a seguir.
As translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ constituem simetrias da figura. Clicando sobre os diversos botões pode ver os vetores associados e os pontos que pode deslocar para verificar as simetrias de translação ($\vec{u}\quad$, $\vec{v}\quad$ e $\quad m.\vec{u}+n.\vec{v}\quad$ $m, n \in \mathbb{Z}$). Para além destas, não há quaisquer outras simetrias (não triviais, claro).

p1