Relações métricas no triângulo - lados e pés das alturas

Num triângulo qualquer ABC, tirem-se as alturas e considerem-se os seus pés nos lados opostos a cada um dos vértices, A' pé da altura tirada de A, B' de B e C' de C. Verificam-se as seguintes relações
AB.AC'=AC.AB'

AB'.BC'.CA' = AC'.CB'.BA'




Claro que estas relações não são mais do que representantes de cada uma das famílias de relações que se obtém de outra por permutação.

Relações métricas no triângulo isósceles inscrito.

O triângulo isósceles ABC está inscrito numa circunferência.Tome-se uma corda AE que intersecte o lado BC em D
AB² = AD.AE.



A demonstração deste facto baseia-se na semelhança entre ABD e ABE que têm um ângulo comum e dois outros iguais porque inscritos em arcos iguais.
Esta relação não é mais que um caso particular da relação da entrada anterior quando o triângulo ABC então considerado é um triângulo isósceles (quando B' coincide com C').