Relações métricas no triângulo - os raios das circunferências circunscrita e inscrita

Para um triângulo ABC há uma circunferência a ele circunscrita (a passar pelos seus vértices ) e uma outra nele inscrita (tangente aos seus três lados). O raio da circunscrita é no mínimo duplo do raio da inscrita.

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar os vértices do triângulo, para confirmar que essa relação se mantém e para ver em que condições o circun-raio é dobro do in-raio.




Sobre esta construção pode ainda confirmar e relembrar outras relações métricas que já foram , de um modo ou doutro, referidas em antigas entradas e que ligam os raios das circunferências inscrita e circunscrita com a área e o perímetro do triângulo ou com a distância entre o incentro e o circuncentro. Todas as relações aqui referidas estão relacionadas e são mobilizadas na demonstração do resultado em destaque nesta entrada.

Relações métricas num triângulo - uma desigualdade de Erdös

Em 1935, no nº 42 da American Mathematical Monthly, era publicado o problema 3740, proposto por Paul Erdös:
De um ponto O do interior de um triângulo ABC tiram-se perpendiculares OP, OQ e OR aos seus lados. Provar que
OA+OB+OC ≥2(OP+OQ+OR)
O problema foi resolvido de muitas maneiras diferentes e é isso que lhe dá uma importância redobrada para quem ensina. O problema pode ser resolvido só com matemática básica, só com trigonometria básica e secundária, com recurso a outros teoremas mais ou menso conhecidos (Ptolomeu, por exemplo). Claro que resolver o problema só com resultados básicos exige uma disciplina especial para ver que passos dar e por que ordem, que resultados se aplicam a cada passo, etc.

A primeira solução é atribuída a Mordell(mentor de Erdòs) e é por isso que o problema (ou a conjectura) de Erdös passou para a história como Teorema de Erdös-Mordell.

O outro encanto do problema tem a ver com imaginar o trabalho de desenho e medidas de muitos e muitos triângulos que Erdös deve ter feito para chegar ao enunciado da sua conjectura.
Aqui, apresentamos uma construção dinâmica que lhe permite trabalhar com centenas de triângulos (deslocando os seus vértices) e com muitos pontos do interior de cada triângulo deslocando O. Pode ver também em que condições há igualdade, etc