Relações métricas envolvendo triângulos e circunferências - áreas

No ensino básico são abordados vários resultados com áreas de triângulos e como é óbvia a semelhança entre os triângulos equiláteros inscrito e circunscrito na mesma circunferência, deve ser posta à consideração dos alunos a relação entre as áreas desses triângulos.
O resultado que hoje aqui apresentamos pode também ser abordado no ensino básico, envolvendo o hexágono convexo regular inscrito e as razões entre as áreas dos triângulos inscrito e circunscrito e a área do hexágono:
A área do hexágono inscrito numa circunferência é o meio proporcional entre as áreas dos triângulos inscrito e circunscrito na mesma circunferência.

Na construção dinâmica, pode deslocar F e O para verificar que as relações métricas se mantêm qualquer que seja o raio da circunferência e os lados dos triângulos e hexágono.

Relações métricas no triângulo - da circunferência definida por A, Ma e pé da bissetriz de Â

Num triângulo ABC,  a circunferência que passa pelos vértice A, ponto médio de BC e pé em BC da bissetriz interior do ângulo A  corta os lados AB e AC em dois pontos E e F. Verifica-se que BE=CF.