Na antiguidade, não havia procedimentos algébricos para resolver equações. Tudo era resolvido usando comprimentos de segmentos, operações sobre eles e áreas de polígonos. No 9º ano, ao introduzir as equações do 2º grau, convém referir problemas históricos do 2º grau acompanhados de referência ao pensamento geométrico que permitia solucionar tais problemas. Por exemplo a equação que modernamente escrevemos sob a forma x²+6x=27, viria de um enunciado em que jogam um quadrado de lado desconhecido e um retângulo com uma dimensão igual ao lado do quadrado e outra 6. A soma das áreas destes polígonos seria 27.

Para começar, tomemos um quadrado x por x e um rectângulo 6 por x. A construção que se segue parte destas duas figuras que juntas ocupam uma área de 27. E, clicando sobre

podem ver-se a sucessão de procedimentos geométricos utilizados na resolução. Começa por dividir o retângulo 6 por x em quatro retângulos iguais 1,5 por x que podem juntar-se ao quadrado x por x, sobre cada um dos seus lados.




Completamos a figura com os quatro quadrados amarelos de lado 1,5. Obtemos assim um quadrado que:
- tem área 36, logo a medida do lado é 6;
- tem lado 1,5+x+1,5 ou x+3

Então tem de ser x+3 = 6, logo x=3.

Nota: hoje sabemos que existe uma solução negativa, -9; mas na Antiguidade estas equações destinavam-se a resolver problemas concretos em que não havia lugar para soluções negativas.

Lugar dos pontos distantes proporcionalmente a um ponto e a uma reta

Determinar o lugar geométrico dos pontos M cuja razão das distâncias a um ponto P e a uma reta r é igual à razão entre AB e BC dados.




NO fundo, este lugar geométrico é uma cónica de que se conhece a directriz, o foco e a excentricidade. Valerá a pena deslocar o ponto B de modo a que AB=BC e AB-BC=AC e ver que cónicas se obtêm.