Pontos de tangência do incírculo dividem os lados do triângulo...

Chamamos a ao comprimento do lado BC oposto a A, b=AC e c=AB. Na nossa construção, designámos por J, K e L pontos de tangência do incírculo.



O perímetro do triângulo é a+b+c = BJ+JC+CK+KA+AL+LB. Como BJ=BL, JC=CK, KA=AL, 2(AK+BL+CJ)=a+b+c, ou seja, 2AK+2a =a+b+c, AK+a é igual a metade do perímetro do triângulo. AK é o semiperímetro subtraído de a. Do mesmo modo, para AL. E obviamente que CK=CJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de c ou BL=BJ é igual ao semiperímetro do triângulo subtraído de b.

Alguns problemas podem ser resolvidos facilmente se tivermos presente este resultado.

Perímetro do triângulo e pontos de tangência de uma ex-inscrita

Dizemos que uma recta é tangente a uma circunferência quando só têm um ponto comum. Chamamos ponto de tangência ao único ponto comum. Por exemplo a recta AC é tangente ao círculo de centro em I_a, sendo E o ponto de tangência. Prova-se que a tangente em E é perpendicular ao raio EI_a (?). A distância de um ponto a uma recta é medida na perpendicular à recta tirada pelo ponto. A distância do centro de uma circunferência a qualquer uma das suas tangentes é, por isso, igual ao seu raio. Se tirarmos por um ponto A tangentes a uma circunferência, no caso da nossa construção, de centro em I_a, é certo que este ponto está a igual distância de ambas as tangentes, AB e AC, sendo um ponto da bissectriz do ângulo CÂB. E, assim, por ser I_aÂB = I_aÂC (?) e I_aÊA= I_aDA = 1 recto, os triângulos I_aAD e I_aAE são iguais já que I_aA é lado comum. Podemos concluir que a AD=AE.
Se tirarmos por A tangentes a uma circunferência, a distância de A aos pontos de tangência é a mesma.




Este resultado é muito importante e é aplicado na resolução de muitos problemas. Fornece-nos as condições a que obedecem polígonos circunscritíveis a uma circunferência (ou que admitem uma circunferência inscrita) tangente a cada um dos seus lados.
Sabemos que um triángulo admite sempre uma circunferência inscrita nele que é o mesmo que dizer que há um ponto à mesma distância do seus três lados; mais geralmente, equidistante de três rectas concorrentes. A nossa construção sugere que há vários pontos à mesma distância de 3 rectas (só um - o incerto - equidistante dos 3 lados de um triângulo).Quantos? A estes pontos equidistantes das rectas que contêm os lados de um triângulos chamamos incentro - quando é intersecção das três bissectrizes internas, ou exincentros quando são pontos de intersecção de duas bissectrizes externas e uma bissectriz interna ficando fora do triângulo. I_a é um dos exincentros do triângulo ABC, este sobre a bissectriz do ângulo Â.

E o exercício que propomos hoje é demonstrar que AD é igual a metade do perímetro do triângulo ABC. Pode ser?