Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l₅ o lado do pentágono regular inscrito e por l₁₀ o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l₁₀, podemos obter geometricamente l₅.


Na circunferência de centro O e raio OA, tomemos o ângulo ao centro AOB de 36°, a corda AB corresponde a l₁₀ (lado do decágono regular inscrito).
Sobre a semi-recta AB, tomemos C tal que AO=AC. Por C traçamos uma tangente à circunferência; seja D o ponto de tangência.
Tendo AC um comprimento igual ao raio e sendo AB o lado do decágono regular, então B divide AC em média e extrema razão: AC/AB=AB/BC ou AB²= AC.BC
Pela definição de potência de um ponto em relação à circunferência, CD² =AC.BC. Logo CD=AB=l₁₀ (lado do decágono).
No triângulo isósceles OAC, temos ∠OÂC=72°, então a corda OC da da circunferência de centro A e raio AO=AC corresponde a l₅ (lado do pentágono regular inscrito). Em conclusão, dada uma circunferência de raio r, construindo um triângulo rectângulo com r e l₁₀ como catetos, a hipotenusa é l₅ (lado do pentágono).

O lado do decágono, o raio e a razão áurea

Teve oportunidade de verificar, com uma construção dinâmica, a afirmação seguinte:
O ponto M (para o qual AM é igual ao lado do decágono inscrito numa circunferência) divide o raio desta, OA, em média e extrema razão.
Vamos agora demonstrar esse resultado.



Sendo AB o lado do decágono regular inscrito na circunferência de centro O e raio AO, ∠ AÔB=36°. Como AO=OB, o triângulo Δ[AOB] é isósceles e assim ∠OBA= ∠BAO = 72°.
Tomando a bissectriz de ∠OBA que intersecta AO em K,é ∠OBK =∠ABK=36°. E, por ∠BKO ser ângulo externo do triângulo &Delta[BKO], ∠AKB=∠OBK + ∠KOB = 72°= ∠BAO e, em consequência, também Δ[OBK] é isósceles sendo AB=BK=KO.
Já sabemos que a bissectriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos outros dois lados, podemos escrever que KA/AB=KO/OB. E como vimos antes que AB=BK=KO e OB=OA, concluímos que AK/KO = OK/OA, ou seja , o ponto K divide o raio da circunferên cia (O, OA) em média e extrema razão e a medida do segmento OK dá a medida do lado do decágono regular inscrito e AO/OK = Φ (aproximadamente 1,62)