Média e extrema razão – inversão – conjugado harmónico

Em 2010 apresentávamos 3 construções em CaR ou ZuL (Compasso e Régua ou Zirkel und Lineal, R. Grothmann):

• a primeira para lembrar que, para um dado segmento de reta AB, um dos seus pontos M (e um só) o divide em média e extrema razão, a saber, tal que AB/AM=AM/MB, (....Φ) ;
• a segunda a lembrar que, sendo M' o inverso de M relativamente à circunferência de centro em A e raio AB, as razões AB/AM e AM'/AB são iguais já que tomando AB para unidade, AM é o inverso de AM';
• e finalmente que se tomarmos B' como extremo oposto a B do diâmetro de (A, AB) - a meia volta de B em torno de A - temos um quaterno harmónico de pontos (sobre a reta AB), a saber (B', B; M, M').

---

Restauração:
Limitámo-nos a substituir essas três construções por uma só que se divide 5 passos para evidenciar os aspectos essenciais acima referidos.

---

Outra divisão (subtractiva)

Deslocando o ponto N exteriormente ao segmento AB no sentido de B para A, notemos que a razão AB/NA varia de 0 a +infinito, enquanto a razão NA/NB decresce de 1 a 0; existe, então uma posição de N para a qual as duas razões tomam o mesmo valor; designando essa posição de N por M’ temos AB/M’A = M’A/M’B. Ou seja, M’A é meio proporcional entre AB e M’B.

A circunferência, já traçada, com centro em C e raio CB intersectou a recta AC em D; mas também intersecta a recta AC em D´ (simétrico de D em relação a C); a circunferência com centro em A e raio AD’ intersecta a recta AB em M’.


Será possível determinar um outro ponto exterior ao segmento AB no sentido de A para B ? É evidente que não, visto que a distância de N a A é superior à distancia a B e ao comprimento de AB; logo AN não poderia ser meio proporcional entre AB e NB.

Em conclusão, numa recta AB, existem dois e só dois pontos, M e M’, que dividem o segmento AB em média e extrema razão em que AM (AM’) é meio proporcional entre AB e MB (MB’):
- M é interior ao segmento AB e os segmentos AM e MB são aditivos;
- M’ é exterior ao segmento AB e os segmentos M’A e M’B são subtractivos.