Triângulos de Sharygin

No triângulo ABC, seja:
- A’ o pé da bissectriz do ângulo interno A;
- B’ o pé da bissectriz do ângulo interno B;
- C’ o pé da bissectriz do ângulo interno C;

- A’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice A;

- B’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice B;

- C’’ o pé da bissectriz do ângulo externo de vértice C.


Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’, BB’, CC’. O triângulo definido por estas três rectas é o “primeiro triângulo de Sharygin”.







Tracemos as mediatrizes dos segmentos AA’’, BB’’, CC’’. O triângulo definido por estas três rectas é o “segundo triângulo de Sharygin”.






Os dois triângulos são semelhantes.
O eixo de perspectiva ente o triângulo ABC e os dois triângulos de Sharygin é a recta de Lemoine

Triângulo de Grossard

A recta de Euler do triângulo ABC (a azul) intersecta a recta AB em E₁, a recta BC em E₂, a recta AC em E₃.
A recta de Euler do triângulo BE₁E₂ é a recta O₁H₁.
A recta de Euler do triângulo AE₁E₃ é a recta O₂H₂.
A recta de Euler do triângulo CE₂E₃ é a recta O₃H₃.
Estas três rectas de Euler, a vermelho, definem o triângulo de Grossard.
O triângulo de Grossard e o triângulo ABC são congruentes.