Segundo triângulo de Brocard

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.

As simedianas do triângulo intersectam-se em K, como vimos. E, portanto, intersectam o primeiro círculo de Brocard em K e em mais três pontos: A₂, B₂, C₂. Estes três pontos definem o “segundo triângulo de Brocard”. Estes três pontos também se situam sobre o círculo de Brocard.
O círculo de Brocard é, assim, o “círculo dos dez pontos”: O, K, Br₁, Br₂, A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂.



Os dois triângulos de Brocard são homológicos, por uma homologia de eixo e. O centro da homologia é a intersecção das rectas A₁A₂, B₁B₂ e C₁C₂ que é afinal o centro de gravidade do triângulo ABC.

Círculo e primeiro triângulo de Brocard

Projectemos o ponto K de Lemoine sobre as mediatrizes dos lados do triângulo: sejam A₁, B₁, C₁ essas projecções. Os triângulos [A₁BC], [B₁CA], [C₁AB] são isósceles (o vértice definido pelos lados iguais pertence à mediatriz da base) e a medida dos ângulos (iguais) da base é u.

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A₁, B1₁, C₁: “círculo de Brocard”. Os três pontos A₁, B₁, C₁ definem o “primeiro triângulo de Brocard”.



[A.A.F.]