Ponto de Lemoine

Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



Como se pode ver na construção que se segue, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.

Assim conhecemos uma outra forma de determinar o ponto de Lemoine de um triângulo ABC como ponto de intersecção dos segmentos que unem os pontos M_a, M_b e M_c médios, respectivamente dos lados a=BC, b=CA e c=AB e os pontos Mh_a, Mh_b e Mh_c médios das respectivas alturas tiradas por A, B, C, a saber AH_a, BH_b e CH_c.

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Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:

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• As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.


• A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.


• O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.


• As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.





• As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




[KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice. Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando M_a, M_b, M_c as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'_a, M'_b, M'_c), obtemos |MM_b|.|M'M'_b|=|MM_c|.|M'M'_c|, como pode confirmar na construção que se segue:




As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.