Conservação de ângulos na inversão

Na construção abaixo em que pode deslocar os pontos A,V e B, considera-se o ângulo AVB (das semirectas VA e VB). Os transformados dos lados do ângulo ( que não cortam a circunferência) são duas circunferências. O ângulo transformado de AVB pela inversão relativa à circunferência (a negro) é o ângulo de vértice V' (inverso de V) e cujos lados são as tangentes em V' às circunferências transformadas dos lados do ângulo AV e BV. Como se pode verificar, este ângulo assim definido é igual ao ângulo AVB. As cores dos lados dos ângulos ( e das circunferências inversas de AV e VB) revelam que são de sentido inverso os ãngulos cuja amplitude se mantém por inversão - tal como acontece na simetria. Assim tinha de ser. Não é?

Do pólo e polar à circunferência

Usando a inversão, o pólo, a polar e separação harmónica,... determinar uma circunferência a partir do seu ponto A e a polar p do ponto P relativamente a ela.

---

Mariana Sacchetti 1. Traçar a perpendicular a p por P. Seja P’ é o ponto de interseção (P’ é o inverso de P relativamente à circunferência pretendida)
2. Traçar o círculo de diâmetro [PP’]. Seja O’ o seu centro
3. Traçar a reta AO’ e a sua perpendicular em A. Seja D o ponto de interseção desta perpendicular com o círculo (O’, O’P)
4. Traçar a tangente ao círculo (O’, O’P) em D. Seja A’ a interseção desta tangente com AO (A’ é o inverso de A relativamente à circunferência (O’,O’P)
5. A mediatriz de AA’ interseta PP’ em O, centro da circunferência pretendida