Dados três círculos, determinar um quarto círculo que os corte ortogonalmente (caso exista)
O matemático francês Monge (1746-1818) é conhecido como fundador da geometria descritiva. Para os efeitos da resolução do exercício interactivo que se apresenta acima, para ser resolvido sem alvo à vista, interessa referir que Monge viu que os 3 eixos radicais dos 3 pares de cirunferências se interesectam num ponto. Será que o problema de Monge tem solução para qualquer terno de circunferências?
Estamos a realizar estas construções e exercícios com CAR.Metal interface de Eric Hakenholz para o magnífico Régua e Compasso (Zirkel und Lineal) de René Grothmann que sempre utilizámos neste último ano. CAR.Metal v. 1.8 já conta com uma adaptação portuguesa que pode e deve ser melhorada, como é óbvio.
Com data de 27 de Agosto de 2007 escrevia-se "Um serviço sem alvo":
O exercício que estamos a propor é uma experiência. Sendo um exercício feito em R(égua) e C(ompasso) -(ZuL)" estamos a experimentar o interface CAR.metal e a apresentar o exercício sem alvo vísivel. Esperando , claro está, que o computador reconheça a solução, caso a encontre. Aqui vai:
Dadas duas circunferências de centros $\;O_1\;$ e $\;O_2\;$ e. a tangente $\;t\;$ comum às duas, determine um círculo ortogonal às duas circunferências e que tenha centro sobre $\;t$.
A restauração em 2022:
Construção restaurada por Mariana Sacchetti que a explica a seguir:
1. Determina-se o eixo radical das duas circunferências (lugar geométrico dos centros das circunferências ortogonais à circunferência verde e azul):
Traça-se uma circunferência auxiliar (a tracejado preto e de centro M) que intersete ambas as circunferências. As retas definidas pelos pontos de interseção são os eixos radicais das circunferências verde e azul com a circunferência auxiliar. Pela interseção destas duas retas (ponto S) traçar a perpendicular à linha dos centros O1O2. Esta reta, vermelha, é o eixo radical das circunferências ortogonais à verde e à azul.
2. A circunferência pedida tem centro no ponto de interseção do eixo radical e da tangente t (ponto O) e passa pelos pontos I e L, pontos de tangência da reta t com as circunferências.
No livro ainda vinha escrito "Depois de pensar nas propriedades da tangente comum às duas cirucnferências, como passaria a determinar o eixo radical de duas circunferências?
Pode movimentar os centros das cirucnferências e fazer variar os raios. Isso ajudará a ver o que se passa quando as circunferências se intersectam, são tangentes, etc...
e já temos tudo para resolver o
Problema de Monge:
Dados três círculos, determinar um quarto círculo que os corte ortogonalmente (caso exista)
Construção restaurada por Mariana Sacchetti que a explica a seguir:
1. Desenha-se uma circunferência auxiliar que intersete as três circunferências.
2. Constroem-se os eixos radicais (bastam dois. Sabemos que os três se intercetam no mesmo ponto)
3. O ponto de interseção dos eixos radicais é o centro da circunferência pretendida.
4. Pelo centro da circunferência pretendida tiram-se tangentes às circunferências (basta a uma e basta determinar um ponto de tangência).
5. A circunferência ortogonal às outras três tem centro no ponto de interseção dos eixos radicais e passa pelos pontos de tangência referidos no ponto anterior.
