24. Homografia e involução.
Estudámos em "La Géométrie et les Imaginaires" a transformação homográfica, ou seja, a relação entre duas variáveis tal que a cada valor de uma qualquer das duas variáveis corresponde um valor e um só da outra variável. Uma tal transformação é pois necessariamente linear em relação a cada uma das duas variáveis e pode ser escrita sob a forma:
(27) a x x' + b x + b' x' + c = 0
A propriedade mais importante da transformação homográfica é a conservação da razão anarmónica, isto é, a razão anarmónica de quatro valores de x é igual à razão anarmónica dos quatro valores correspondentes de x'.
A equação (27) faz corresponder a cada ponto M de coordenadas x um ponto M' de coordenadas x'; mas esta transformação não é recíproca, ou seja, se designarmos por x as coordenadas de M', o valor x' correspondente não será a coordenada de M. Com efeito, se permutarmos x e x' em (27), obtemos:
(27') a x x' + b x' + b' x + c = 0
e, subtraindo as duas equações (27) e (27') membro a membro, vem:
(28) (b - b') (x - x') = 0
e, se supusermos x diferente de x', ou seja, x - x' diferente de 0, esta relação implica b = b'. Se esta relação se verifica, a transformação homográfica é dita "involução". Uma involução é, portanto, definida pela relação
(29) a x x' + b (x + x') + c = 0
simétrica em x e x'. Os valores x e x' que verificam esta relação são ditos "pares" de pontos correspondentes da involução. Para que dois pontos estejam sobrepostos, ou seja, para que x = x' é necessário e suficiente que se tenha:
(30) a x2 + 2 b x + c = 0
isto é, que x seja um zero do trinómio a x2 + 2 b x + c.
Suponhamos em primeiro lugar que os seus zeros são distintos e reais e designemo-los por x1 e x2; ou seja, que temos
(31) x1+ x2 = -2 b/a x1 x2 = c/a
e, substituindo na equação (29) b e c pelos seus valores tirados de (31) e, dividindo por a, que não é nulo, a relação involutiva torna-se:
(32) 2 x x' - (x1 + x2) (x + x') + 2 x1 x2 = 0
o que pode escrever-se:
(33) (x - x1) (x' - x2) + (x - x2) (x - x2) (x' - x1) = 0.
Sejam M1 e M2 os pontos x1 e x2, M e M' os pontos x e x'; a relação (33) escrever-se-á:
(34) MM1 . M'M2 + MM2 . M'M1 = 0
ou seja,
(35) MM1/MM2 = - M'M1/M'M2.
Ela exprime que os pontos M e M' são conjugados harmónicos em relação aos pontos M1 e M2.
Se designarmos por O o ponto médio de [M1M2], sabe-se que temos:
(36) OM . OM' = OM12
o ponto O é dito o "centro" da involução; ele corresponde ao ponto do infinito da recta.
