António Aurélio Fernandes não descansa. Por força da sua saudável teimosia, andamos a procurar a melhor abordagem a algumas transformações geométricas afastadas dos programas escolares.
Hoje apresentamos uma transformação que é muitas vezes usada, com vantagem, na resolução de problemas de régua e compasso envolvendo cónicas. Nunca sabemos se o fazemos bem. Mas aqui fica uma tentativa que, depois de todas as voltas acabou praticamente na forma da sugestão inicial de António Aurélio Fernandes. A vida é feita de derrotas... para uns e vitórias... para outros. Mais coisa menos coisa.
Na construção que se segue, verá que para cada recta r definida por dois pontos R e S, a cada ponto P de r corresponde um ponto P' tal que |OP|.|OP'|=k. Deslocando P sobre r verá que esse produto é invariante qualquer que seja o ponto P e correspondente P'.
[A.A.M]
A esta aplicação que faz corresponder a cada ponto P de r um outro ponto P' da mesma recta, de tal modo que |OP|.|OP'|=k, chamamos involução de centro O e constante k.
Deslocando R ou S, obterá nova recta e, logo, um novo centro O e uma nova constante k. Poderá mover C e confirmará que a cada ponto P corresponderá um ponto P' mantendo-se invariante (para cada recta RS) o produto |OP|.|OP'|.
É muito interessante e potente este resultado. Muitas perguntas, muitos problemas são sugeridos imediatamente pela definição. Por exemplo, para cada recta e para cada constante qual o centro da involução?
Porque será que aquele produto é constante, quando P varia sobre a recta? É disso que vamos tratar, dando exemplos de involuções conhecidas...(?)
A ilustração do caso presente - involução retangular (∠ PVP'= ∠ AVA' são retos e ∠ VOP também é reto)- agora apresentada é muito esclarecedora. Foi dedicada ao único bisavô deste projecto, a saber, António Aurélio Fernandes.
