Feixes harmónicos

Se tivermos quatro pontos - A, B, C e D - colineares e tais que (ABCD)=-1, dizemos que um feixe de rectas paralelas ou concorrentes que passem por eles é um feixe harmónico e convencionamos escrever O(ABCD)= (abcd)=-1.


[AdAM]
Se um recta corta um feixe num quarteto harmónico convencionamos chamá-lo de feixe harmónico porque qualquer outra recta que corta o feixe o faz segundo um quarteto harmónico (a harmonia é invariante por projecção central ou paralela). Um exemplo simples e interessante de feixe harmónico é constituído por dois lados de um triângulo qualquer e as bissectrizes internas e externas do ângulo formado por esses dois lados.

Harmonia que se projecta

Se na recta r, C e D separam harmonicamente A e B, (ABCD)=-1, os seus transformados, por projecção de centro O sobre s, são tais que C' e D' separam harmonicamente A' e B'.


[A.dA.M.]
A razão harmónica é invariante por projecção (seja ela paralela, seja central). No caso, pode verificar que a razão harmónica se mantém invariante, quando desloca O (muda o centro da projecção), quando desloca S (faz variar a recta s), e ainda quando deslocar A, B ou C sobre a recta r.