Conjugados harmónicos, com régua

Sejam [AB] e P de [AB]. A partir de A e B construimos um quadrilátero completo de vértices A, B, C, D, E e F obrigando a que uma diagonal passe por P (E tem de ficar determinado sobre a recta PC). A outra diagonal DF intersecta AB em Q, que é o conjugado harmónico de P relativamente a A e B.



[A.A.M.]
Na figura, pode movimentar o ponto C e verificar que as mudanças no quadrilátero não influenciam e para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Movimentando o ponto P verifica que as variações de comprimentos dos vectores não prejudicam a igualdade das razões. Para cada ponto P há um conjugado Q relativamente a A e B.
Claro que também pode movimentar A e B e verificar que para cada par (A,B) há um conjugado de P.

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À margem:
Estas entradas sobre divisões harmónicas resolvem problemas de divisão e multiplicação de segmentos (em linha).
Se P e Q são conjugados harmónicos relativamente a A e B, |AP|/|BP|=|AQ|/|BQ|. Por exemplo, dizer que |AP|/|BP|=3 é o mesmo que dizer |AB|=4|BP| e determinar o conjugado de P é determinar um ponto Q tal que |AQ|=3|BQ|.
|AB|=|AQ|-|BQ|=2|BQ|, logo |AQ|=1,5|AB|

Conjugados harmónicos, com régua e compasso.

Sabendo que as bissectrizes do ângulo C de um triângulo [ABC] determinam sobre AB conjugados harmónicos relativamente a [AB], podemos tratar de encontrar um processo geral para determinar o conjugado de um ponto qualquer da recta AB relativamente a A e B.

Tomando a mediatriz de [AB] e uma circunferência que passe por A e B, bem como o diâmetro [MN] sobre a mediatriz , a recta que passa por M e qualquer ponto P entre A e B é a bissectriz de um ângulo ACB, em que C é um ponto de MP sobre a circunferência. A recta NC é bissectriz externa do mesmo ângulo e, por isso, intersecta AB em Q que é o conjugado de P. De modo análogo, podemos partir de um ponto exterior a [AB] unindo-o a N para determinar o seu conjugado relativamente a A e B.

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Passos da construção com régua e compasso:

• de n=1 a n=5 determina-se o conjugado de um ponto do segmento [AB];
• de n=6 até n=10 determina-se o conjugado de um ponto da reta AB exterior ao segmento [AB]

[AdAM]

Na figura, pode movimentar o centro O da circunferência e verificar que para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Ao movimentar o ponto P verifica que para cada ponto P há um conjugado Q. Pode também movimentar A e B.