Conjugados harmónicos, com régua e compasso.

Sabendo que as bissectrizes do ângulo C de um triângulo [ABC] determinam sobre AB conjugados harmónicos relativamente a [AB], podemos tratar de encontrar um processo geral para determinar o conjugado de um ponto qualquer da recta AB relativamente a A e B.

Tomando a mediatriz de [AB] e uma circunferência que passe por A e B, bem como o diâmetro [MN] sobre a mediatriz , a recta que passa por M e qualquer ponto P entre A e B é a bissectriz de um ângulo ACB, em que C é um ponto de MP sobre a circunferência. A recta NC é bissectriz externa do mesmo ângulo e, por isso, intersecta AB em Q que é o conjugado de P. De modo análogo, podemos partir de um ponto exterior a [AB] unindo-o a N para determinar o seu conjugado relativamente a A e B.

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Passos da construção com régua e compasso:

• de n=1 a n=5 determina-se o conjugado de um ponto do segmento [AB];
• de n=6 até n=10 determina-se o conjugado de um ponto da reta AB exterior ao segmento [AB]

[AdAM]

Na figura, pode movimentar o centro O da circunferência e verificar que para um ponto fixo P há um só conjugado Q. Ao movimentar o ponto P verifica que para cada ponto P há um conjugado Q. Pode também movimentar A e B.

harmonia triangular

Seja o triângulo [ABC] e as bissectrizes interna e externa do ângulo C que intersectam a recta AB em P (entre A e B) e Q. Estão dados os comprimentos |PA|, |PB|, |QA| e |QB|, para verificar que |PA|/|PB|= |QA|/|QB|. Pode mover os potos A, B sobre a recta r e C livremente na folha. Constatará que as razões se mantêm iguais.


[A.A.M.]

Quando há esta relação de igualdade entre as razões |PA|/|PB| e |QA|/|QB|, dizemos que é harmónica a separação operada por P e Q no segmento [AB] e que P e Q são conjugados harmónicos relativamente a A e B.