Hipérbole: assintotas e directrizes.

Há problemas referentes a hipérboles em que é necessário calcular a excentricidade (e = c/a) ou a distância das directrizes a O (d = a/e = a^2/c). Pode utilizar-se o processo clássico de recurso ao teorema de Thales (a/c = 1/e, e/a = 1/d, c/a = a/d), como se ilustra na figura que se segue.
Há, porém, relações entre os elementos da hipérbole que permitem obter de modo muito mais simples a posição de uma directriz.


[A.A.F.]


Pelo foco F2 tiremos tangentes ao círculo principal; os pontos de tangência T1 e T2 definem a directriz d2. De facto, no triângulo [OT1F2] temos:
|OT'|/|OT1| = |OT1|/|OF2| ou |OT'|/a = a/c ou |OT'| = a^2/c

T' é a intersecção da directriz com o eixo transverso.
Pela forma como foi feita a construção, conclui-se que uma directriz da hipérbole é a polar do respectivo foco relativamente ao círculo principal.

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A recta OT2 é assíntota. Basta notar que os triângulos [OT'T2] e [OV2J] são semelhantes.

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A distância de um ponto P da hipérbole a um foco é igual à distância de P à directriz correspondente a esse foco, lida numa paralela, que passe por P, a uma assíntota.



[A.A.F.]

Por P tracemos uma paralela à assíntota a1. Por definição de hipérbole é |PF2|/|PP'| = c/a ou a/|PP'|=c/|PF2|. Porque os triângulos [PP'Q] e [OCF2] são semelhantes, é |OC|/|PP'|=|OF2|/|PQ|=|CF2|/|P'Q| ou a/|PP'| = c/|PQ|. Verifica-se, portanto, que |PF2| = |PQ|.

Da elipse para a hipérbole

A hipérbole pode ser definida como um lugar geométrico de pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos, F e F', fixos é constante, 2a>0. Ou, dito de outro modo:
Dados dois pontos, F e F' e um segmento 2a de comprimento menor que |FF'|, ao lugar geométrico dos ponto P tais que |PF|+2a=|PF'| chamamos hipérbole.

Também interessa ter sempre presente, à semelhança do que dissémos para as outras cónicas, que

chamamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos cujas distâncias a um ponto (foco) e a uma recta (directriz) estão numa razão constante (maior que 1).

Por estas definições, se torna óbvio que às propriedades da elipse se podem associar propriedades análogas da hipérbole. Várias destas analogias podem ser vistas em ilustrações já publicadas neste "lugar geométrico".

O que foi referido para secantes e tangentes da elipse é aplicável com a adaptação conveniente a secantes e tangentes da hipérbole.

Nos artigos que se seguem, iremos tratar de propriedades da hipérbole que nos parecem merecer referência por não serem comuns à elipse real.