a recta que intersecta a parábola

Na sua "Geometria Métrica", Puig Adam mostra que o processo utilizado para determinar as intersecções de uma recta com a elipse ou hipérbole pode também ser usado para a parábola:



Suponhamos a parábola definida por F e directriz d. Determinar as intersecções da cónica com a recta r equivale a achar em r os centros das circunferências que passam por F e são tangentes à directriz.
Tomemos o simétrico S de F em relação a r. Toda a circunferência que passa por F e S tem o seu centro em r; reciprocamente, toda a circunferência que passa por F e tem centro em r passa por S. O problema equivale a achar os centros das circunferências que passam por F e S e são tangentes a uma recta dada (a directriz da parábola).
Seja M a intersecção de FS com d; o ponto T de tangência tem de verificar a condição MT^2 = MS.MF. Traçamos uma circunferência auxiliar que passe por F e S. Por M tiramos uma tangente à circunferência auxiliar e seja T' o ponto de tangência.

Os pontos P1 e P2 (caso existam) são as intersecções da recta com a cónica.

Elipse: Tangente por um ponto exterior

No 2º volume da GEOMETRIA MÉTRICA, já referenciada neste lugar algumas vezes, Puig Adam apresenta a determinação da tangente por um ponto, P, exterior a uma elipse de que se conhecem os focos e o eixo maior. Esta construção não exige a determinação de qualquer outro elemento da elipse. É elegante e simples.
Com centro num dos focos, por exemplo F₁, trace-se a circunferência directora (ou focal). A circunferência centrada em P e que passa por F₂ corta a anterior em dois pontos S₁ e S₂. As tangentes à eipse tiradas por P são as mediatrizes dos segmentos [ F₂ S₁] e [ F₂ S₂]. Para além do mais os pontos de trangência ficam determinados como intersecções dessas mediatrizes (tangentes) com os segmentos [ F₁ S₁] e [ F₁ S₂].