Terceiro despertar dos geómetras.

Para obtermos o incentro de um triângulo [ABC] temos de traçar, como é sabido, as bissectrizes dos ângulos internos do triângulo: obtemos um ponto, habitualmente designado por I - incentro, que tem esta propriedade de ser equidistante dos três lados. Desenhamos assim uma circunferência de (in-)raio r - círculo inscrito - tangente aos três lados do triângulo.
Pois bem, é possível desenhar mais três circunferências tangentes aos três lados, agora externamente ao triângulo - círculos exinscritos. Para obter, por exemplo, o círculo exinscrito no ângulo de vértice A, basta traçar as bissectrizes externas dos ângulos com vértices em B e C. Designaremos por I_a, I_b, I_c os centros das três circunferências exinscritas.
Notas: A bissectriz interna do ângulo em A passa por I e por I_a, a bissectriz interna do ângulo em B passa por I e por I_b, a bissectriz interna do ângulo em C passa por I e por I_c. As bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares.


[A.A.F.] Propriedades.

A área de um triângulo é dada pelo produto do semi-perímetro pelo raio r do círculo inscrito.

As circunferências BCI_a, CAI_b, ABI_c intersectam-se em I.

Os pontos I_a, I_b, I_c formam um triângulo que tem por alturas as bissectrizes dos ângulos internos.

Os pontos médios dos segmentos que unem cada exincentro ao incentro pertencem ao círculo circunscrito.

r_a + r_b + r_c= r + 4 R (r: in-raio; I: incentro; R: circum-raio; O: circuncentro; r_a: exin-raio, etc)

|OM_a| + |OM_b| + |OM_c|= r+R

|OI|² = R (R -2 r)

|OI_i|²= R (R + 2r_i), em que i = a, b, c.

A potência do incentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2rR.

A potência de cada exincentro em relação ao círculo circunscrito é dada por 2r_i R, com i = a, b, c.

Seja T₁ o ponto de tangência do círculo inscrito com AB e T₂ o ponto de tangência do círculo exinscrito no ângulo de vértice A com AB e seja p o semi-perímetro do triângulo. Demonstra-se que:
|AT₂| = p,    |AT₁| = p - |BC| e |T₁T₂| = |BC|.

B e C estão sobre a circunferência de diâmetro [II_a]

[A.A.F.]

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António Aurélio Fernandes informa:
Estas notas ajudam a resolver os exercícios 213, 214, 279, 373, 385 do Geometriagon

Divisões

Problemas de construção que apresentaremos na forma de exercícios interactivos (ou não):

1.     Dividir um trapézio em três partes equivalentes por rectas que intersectam as bases.

2.     Dividir um dado círculo em três partes de áreas proporcionais a três comprimentos (m, n, p) dados, com recurso a circunferências concêntricas ao círculo.

3.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma perpendicular a um dos lados.

4.     Dividir um triângulo em duas partes equivalentes por uma paralela a um dos lados.

5.      Dividir um quadrilátero em duas partes equivalentes por uma recta passando por um vértice.