Do lado do pentágono regular

A verdade é que, quando coloquei a questão da construção de um pentágono regular de que se conhece o lado, não esperava que houvesse uma resposta como aquela que deu João Miguel Guerra Vieira (aluno da turma C do 11º ano na Escola José Estêvão).



Depois de ter justificado a divisão em cinco partes iguais feita a uma circunferência e com base nessa compreensão, João Miguel Vieira propôe a construção que aqui ilustramos. Tomou |AB|=5. Determinou M: |AM|=|MB| e L: ALM é triângulo rectângulo e |AL|=|AB|. Com centro em M e raio |ML| determinamos K. |AK| = 5.(1+raíz de 5)/2 (5x número de ouro) = diagonal do pentágono de lado 5 (|AC|=|BE|=|AD|=|BD|). Circunferências de raio |AK| centrados em A e B determinam D. Como intersecção da circunferência centrada em A e de raio |AB| com a circunferência centrada em B e raio |AK|, determinamos E. de modo análogo, determinamos C. É uma boa ideia.

E é claro que a construção de J. Vieira mostra que não é preciso conhecer o círculo circunscrito ao pentágono regular para a sua construção a partir do lado dado. Também se perguntava isso. A resposta não tardou.

Para quem se interessar pelo trabalho de João Miguel a respeito de pentágonos, aqui deixamos as 4 páginas manuscritas que nos ajudaram a perceber melhor e de outra forma o problema que tínhamos proposto. Podem ser descarregadas em páginas separadas no formato (.pdf): página 1; página 2; página 3; página 4.

Damos os parabéns ao João Miguel. E agradecemos à Mariana que nos trouxe e apresentou o João Miguel (como já nos tinha apresentado Afonso Graça).

uma ajuda? de presente em presente

Nunca pensámos em publicar a construção rigorosa do pentágono regular inscrito numa circunferência de raio dado (esta construção tem explicação matemática feita por A J Moreira Antunes na Gazeta da Matemática (SPM), depois de ter sido objecto de muita discussão por aqui na escola ao tempo da construção do dodecaedro - universo - que está no jardim). Aqui vai o desenho da coisa, em que M é ponto médio de OP, |MQ|=|MA| e |AQ|=|AB|... Penso que chega para se entender a construção.

Construir um pentágono regular inscrito numa circunferência de raio dado é assim.
E construir um pentágono regular de lado dado (lado 5, no caso)? Como determinar o círculo em que o pentágono se inscreve? E é preciso determinar um círculo?

Já agora! E construir, só com compasso!, os 5 pontos igualmente espaçados sobre uma circunferência dada? Como é?

Aqui fica a construção dinâmica de António Aurélio Fernandes, passados anos.....

[A.A.F.]