3,14 - Dia do π - uma "rectificação"

Para comemorar o dia do π nada melhor do que tentar arranjar um segmento π. Não acham?

[A.A.F.]

Com régua e compasso, é impossível determinar um segmento de recta de comprimento exactamentee igual a uma dada circunferência*. Porquê? Mas pode fazer-se uma construção de rectificação aproximada de uma circunferência qualquer. Apresentamos uma proposta de Benjamim Carvalho**, professor arquitecto brasileiro. Assim:

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Traçados dois diâmetros perpendiculares AC e BD da circunferência de centro em O, tomemos a intersecção - P - da circunferência de centro em D e raio |DO| com a circunferência dada inicialmente. A recta OP intersecta em P' a paralela a DB tirada por C. Sobre esta determinemos B' tal que |P'B'|=3|OP|. |AB'| tem comprimento igual a metade do perímetro da circunferência dada, isto é |AB'|e π|OA|são aproximadamente iguais. (Se |AO|=1, |AB'|=π)

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Se clicar sobre a ilustração tem acesso a uma construção dinâmica em que pode movimentar pontos, de modo a modificar os raios e confirmar que a construção aguenta aproximações sempre razoáveis.

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Porque é que é razoável esta construção? Isso é o que andei a tentar perceber. Em meu entender, a Mariana Sacchetti respondeu às minhas dúvidas. A razoabilidade do resultado da construção, cuja aproximação podia ser verificada por cálculos, não era a minha dúvida essencial e existencial. Antes era, porquê aquela construção? Que podia ter levado um geómetra a dar aqueles passos? Porquê assim? Com autorização da Mariana, aqui ficam as suas    deambulações em volta do π    (em .pdf). Vale a pena duvidar e deambular com ela. Muito obrigado, Mariana. E podemos continuar a discutir. Há quem já me tenha perguntado: Mas afinal como é que ela respondeu a essas tuas dúvidas? E eu respondo quando me perguntam. [O melhor do mundo são as perguntas, as cerejas, ... as crianças que entram na escola de dedo na boca para sairem adolescentes de dedo no ar]. Não esquecemos o apoio do Eduardo Veloso que se tirou dos seus afazeres e nos apoiou com a construção em GSP da ciclóide que não conseguíamos dar à Mariana. Obrigado, Veloso. Se ele autorizar, podemos publicá-la um dia destes ou estabelecer uma ligação para algum lugar onde ela esteja. Os problemas levantados por este artigo propiciaram muitas discussões também sobre as diferenças, vantagens e desvantagens dos Geometer's SketchPad e Cinderella, como programas para a geometria dinâmica. * Sobre números contrutíveis, recomendo a leitura de Franco de Oliveira, Transformações Geométricas.Universidade Aberta.Lisboa: 1997 - página 122 e seguintes. **[Carvalho, Benjamim. Desenho Geométrico. Ao Livro Técnico, Ltda, R.J.. 1959], emprestado por David Torres - professor, pintor, médico, reformado e tudo.

Teorema de Brianchon

Para passar do teorema de Pascal para o seu dual - o teorema de Brianchon, basta permutar as palavras recta e ponto.

No teorema de Pascal, temos pontos sobre uma cónica e referimo-nos aos lados do hexágono inscrito. No teorema de Brianchon, teremos rectas tangentes a uma cónica e podemos referir-nos então a um hexágono circunscrito a uma cónica. No teorema de Pascal, pares de lados opostos do hexágono intersectam-se em três pontos que estão sobre uma mesma recta. No teorema de Brianchon, pares de pontos ou vértices opostos unem-se em rectas que passam por um mesmo ponto.

Brianchon publicou o seu teorema em 1810, tendo provado também que os lados do hexágono que circunscreve a cónica podem tomar-se por qualquer ordem.

Teorema de Brianchon - Num hexágono circunscrito a uma cónica, as rectas unindo pares de vértices opostos passam por um ponto.

Como construir um hexágono circunscritível a uma cónica (que não seja a circunferência)?
Como construir uma cónica tangente a seis rectas dadas?