Duas astróides

Tomamos um ponto P(x,y) a mover-se sobre uma circunferência de centro O. A astróide vermelha é envolvente das rectas a vermelho (cortadas na figura) que passam pelos pontos (x,0) e (0,y).
A astróide azul é envolvente das rectas perpendiculares às vermelhas (em cada posição de P)

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Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fundou a teoria das envolventes em 1692 com De linea ex lineis numero infinitis ordinatim ductis inter se concurrentibus easque omnes tangente. Parte das construções e animações que gostámos de fazer e gostamos de olhar referem-se a envolventes. Podem encontrar muitos resultados e sugestões em
Dörrie, Heinrich; 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover Publications. New York: 1965.
Nessa obra podemos encontrar definições das astróides como envolventes e o trabalho algébrico de determinação das suas equações tipo.

Cardióide

A curva da animação abaixo foi desenhada por Dührer (o meu ídolo, este sim!) antes de Étienne Pascal (pai do mais conhecido Pascal, de nome próprio Blaise ) a quem é atribuída.

Limaçon de Pascal

Toma-se um ponto A fixo numa dada circunferência e um ponto M que se move sobre a circunferência. Se tomarmos dois pontos P e Q da recta AM que estão a igual distância de M, estes descrevem o caracol enquanto M dá a volta à circunferência.
Pode descrever de outra forma a obtenção deste lugar geométrico. Há mais do que uma.



Quando |PM| e |MQ| são iguais ao raio da circunferência de partida (|PM|=|MQ|=|AO|), obtemos um caracol especial a que damos o nome de cardióide (o mais conhecido dos caracóis de Pascal, por razões do coração que a razão desconhece).

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(*) Eduardo Veloso; Geometria - Temas actuais (Materiais para professores), IIE. Lisboa:1998

A partir da página 162, sob o título "Curvas planas e mecanismos" são apresentadas várias definições para a cardióide, são contadas as histórias (que eu tinha reduzido a pouco pela consulta do Dicionário de Goemetria Curiosa) e apresentados diversos processos. Veloso inclui mesmo o processo de Dürer para construir o caracol de Pascal. Pode ser que ainda venha a tentar fazer a construção em Cinderella.