Básico - Construção de Triângulos (IV)

Desafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhecem um vértice e as rectas que contêm a mediana, a altura e a bissectriz por ele tiradas.

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Pode estudar a nossa resolução:

Construir um triângulo dadas a altura, a bissectriz e a mediana num vértice.

Seja A um vértice, a altura-a, a bissectriz-b e a mediana-c dados. O problema consiste em determinar B e C de um triângulo [ABC] que tenha aqueles elementos.
Propomos-lhe que estude uma solução para o problema ou que, pelo menos, tente explicar a nossa solução (que não foi fácil para nós, confessamos).

Reconstrução

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Outro(s) desafio(s):



Considere-se um triângulo [ABC], em relação ao qual adoptamos as seguintes designações: a=BC, b=AC, c=AB e h' a altura tirada a partir de A.
1) Dados a, b e h'

2) Dados b, c,h'
3) Dados b, ângulo B e h'

4) Dados b, ângulo B e h'

5) Dados ângulo B, ângulo C e h'


6)Dados a, ângulo B e h'

Dados b, ângulo A e h' - solução de Sofia Canoso
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Básico - Construção de Triângulos (III)

Desafio:
Reconstruir um triângulo de que se conhece um vértice e as rectas que contêm as suas bissectrizes.

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Sugestão.
Desenhe um triângulo e as suas bissectrizes (que se intersectam no incentro)dos ângulos internos. Pense em usar a perpendicular à bissectriz tirada pelo vértice do ângulo. Pode confirmar o que se pretende com a nossa construção:

Bissectrizes dos ângulos de um triângulo

Sugestão: resultado com bissectrizes de um triângulo
Num triângulo [ABC] consideramos habitualmente os ângulos internos e as suas bissectrizes a verde na figura e que se interesectam no ponto I, incentro.Mas podemos considerar as bissectrizes exteriores, a vermelho na figura. Movendo A, B ou C, vimos como os ângulos do triângulo mudam, mas o ângulo que cada bissectriz interior, AI, com a respectiva bissectriz externa, AD, parece manter-se constantemente perto de 90 graus. Podemos conjecturar que as bissectrizes dos dois ângulos formados por duas rectas são perpendiculares. Outro resultado que a figura sugere: A bissectriz interna do ângulo C, passa pelo ponto de intersecção das bissectrizes exteriores em A e em B.
Procure demonstrar os resultados que a figura sugere.

Resposta ao desafio:
Se não tiver reconstruído o triângulo, pode ver a nossa construção com Cinderella.

Reconstrução de um triângulo a partir de um vértice e das bissectrizes

São dadas as três bissectrizes, para além do vértice A (é dado o verde da figura). Traçamos a bissectriz exterior em A (perpendicular à bissectriz verde que contém A).Tomemos D, intersecção desta perpendicular (bissectriz exterior em A) com outra bissectriz. Por este D passará a bissectriz exterior noutro vértice, seja B, intersecção da terceira bissectriz com a sua perpendicular tirada por D. O terceiro vértice domtriângulo obtém-se, fazendo intersectar a recta simétrica de AB, por simetria cujo eixo é a bissectriz do ângulo B.

Construção dinâmica de um triângulo dados um vértice e as três bissectrizes

Pode movimentar A sobre a sua bissectriz, assim como pode movimentar qualquer das bissectrizes passando por I