Ponto de Miquel

No artigo anterior sobre a recta de Droz-Farny, refere-se Jean-Louis Ayme e a sua demonstração sintética do Teorema de Droz-Farny, publicada no Forum Geometricorum. Nesta demonstração, J-L Ayme recorre a um Teorema de Miquel* que enuncia assim: Se marcarmos um ponto sobre cada um dos lados de um triângulo e tormarmos a circunferência que passa por cada vértice e pelos dois pontos marcados nos lados adjacentes, obtemos três circunferências que se intersectam num ponto. Diz ainda J-L Ayme, na pequena nota, que muito poucos geómetras contemporâneos de Miquel tiveram consciência de que o resultado de Miquel daria origem a um sem número de teoremas. Há referências a resultados atribuídos a Miquel, mas não encontramos notas biográficas. Por exemplo na enciclopédia mathworld - letra M , podemos encontrar sete entradas com o nome de Miquel - Miquel Circles, Miquel Equation, Miquel Five Circles Theorem, *Miquel's Pivot Theorem, Miquel Point, Miquel'Theorem e Miquel Triangle.

Esta referência lembrou-nos que já tínhamos feito uma construção sobre o ponto de Miquel, sugerida pelo Dicionário de Geometria Curiosa de David Wells que foi editado em Portugal pela Gradiva.

Tomemos quatro rectas a, b, c e d concorrentes duas a duas. Ficam definidos quatro triângulos cujas circunferências circunscritas se interesectam num ponto M, a que chamamos ponto de Miquel. Melhor ainda: Há uma circunferência que passa pelos quatro circuncentros e, por onde?, pelo ponto de Miquel.

Figura de J-L Ayme

Se clicar sobre a figura, tem acesso à nossa construção. Pode movimentar as rectas na figura. Pode tentar demonstrar o resultado, para além de fazer a sua própria construção com o Cinderella.

Nota:
Auguste Miquel; Mémoire de Géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville 1 (1838) 485-487.
E desafiamos o leitor a procurar a biografia de A. Miquel, bem como referências a Miquel. Bem merece ser conhecido - diz o companheiro Aurélio - embora acrescente que há outras coisas divertidas para fazer na vida.

Recta de Droz-Farny

No artigo anterior, apresentámos construções dinâmicas (animações, mesmo em alguns casos) relativas aos pontos e rectas notáveis de um triângulo. Os casos espantosos das rectas de Euler (colinearidade dos baricentro, ortocentro e circuncentro de um triângulo) e de Simson (colinearidade dos pés das perpendiculares aos lados de um triângulo tiradas de um ponto da circunferência circunscrita) foram apresentados então. Com o Cinderella estes resultados adquirem um novo interesse. Ao trabalhar com o Cinderella, pode acompanhar por coordenadas e equações respectivas (a um referencial sempre presente) cada passo da construção (Vistas - Texto da Construção) e, se tiver feito a construção com todo o cuidado, pode obter a confirmação de que um dos pontos pertence à recta que passa por dois dos pontos notáveis que a definiu (Vistas - Janela de Informações). Não se trata, nestes casos, de simples constatação visual ou informação para apoiar uma conjectura.
No volume 4(2004) do Forum Geometricorum foram publicados recentemente dois artigos sobre o Teorema de Droz-Farny, a saber:
A Purely Synthetic Proof of the Droz-Farny Line Theorem, de Jean-Louis Ayme e A Projective Generalization of the Droz-Farny Line Theorem, de Jean-Pierre Ehrmann e Floor van Lamoen que me chamaram a atenção para um certo número de resultados que podem ser confirmados através de construções com o Cinderella. Já depois de ter feito algumas construções, e, quando me preparava para publicar as primeiras, encontrei várias construções e animações (applets) com Geometer's SketchPad, Cabri Géomètre e outras aplicações que não reconheço. Há muitos materiais úteis para a sala de aula feitos com essas aplicações (em português também) e delas iremos dando conhecimento por aqui. Aliás, os meus alunos do 11º ano trabalham com o GSP em ambiente de sala de aula, uma vez por semana.

Em 1899, o suiço Arnold Droz-Farny publicou, sem demonstrar, o teorema de que apresentamos o seguinte enunciado apoiado em figura:

Duas rectas perpendiculares que passem pelo ortocentro de um triângulo [ABC], cortam as rectas dos lados em X e X', Y e Y', Z e Z' (como mostra a figura abaixo). Nestas condições, os pontos médios M de [XX'], N de [YY'] e P de [ZZ']são colineares.


[A.A.F.]

Se clicar sobre a figura, tem acesso a uma construção que pode manipular (quer movendo os pontos A,B e C quer movendo Y'X'. Se puder fazer a construção com o seu Cinderella, no seu computador, não se esqueça de abrir desde início o texto da construção e a janela de informações. Quando, ao fim da construção mandar passar uma recta por M e N (por exemplo), a janela de informações confirmará que o ponto P também está sobre MN, isto é, confirmará que M, N e P são colineares.

O artigo do Forum Geometricorum aqui citado em primeiro lugar contempla, para além da demonstração sintética do teorema, uma pequena resenha biográfica de Arnold Droz-Farny. Esperamos também ter chamado a atenção para o Forum Geometricorum. Com uma simples inscrição pode receber gratuitamente informação sobre o que lá vai sendo publicado e pode também gratuitamente carregar os artigos (em.pdf ou .ps)

Forum Geometricorum