Nesta entrada, consideramos duas circunferências de raios $\;r\;$ e $\;s\;$ com centros, respetivamente, em $\;A\;$ e $\;C,\;$ e tangentes em $\;B:\; \;\; (A,\;r), \;(C,\;s)\;$ - sendo $\;r=5 \times s\;$ ou $\;s= \displaystyle \frac{r}{5}\;$.
Um ponto que faça uma volta completa em torno de $\;A\;$ pela circunferência $\;(A, \;r)\;$ faz um percurso de comprimento $\;2\times \pi\times r.\;$
Se considerarmos que é a circunferência $\;(C, \;s)\;$ que rola, sem arrastamento, tangencialmente a $\;(A, \;r)\;$ uma volta inteira, de pontos de tangência, ocupará um arco $\;2\pi r.\;$ E, sendo $\;B\;$ a posição de tangência na partida para a aventura de tal volta, ele tomará posições $\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B)\;$ enquanto, nas condições do problema de rolamento sem arrastamento, o ponto $\;B,\;$ como ponto fixo de $\;(C, \;s)\;$ terá de tomar posições reais $\;T'\;$ em posições $\;(C',\;T)\;$ obtidas por $\; \mbox{Rot}_A^\alpha(B')\;$ sobre esta, só voltando a ser ponto de tangência a cada volta completa, isto é, quando $\;T'= \mbox{Rot}_{C'}^{2n\pi s}(B) \;\;\; n=1,2,3, ...\;$ coincidir com uma das posições $\;T = \mbox{Rot}_A^\alpha (B) .\;$ Este ponto $\;T'\;$ do qual procuramos saber o seu lugar geométrico quando $\; \alpha\;$ toma valores de $\; [0, n\pi ]\;$ em radianos (com $\;n\;$ natural ), também pode ser obtido por uma rotação do ponto $\;B\;$ de ângulo $\; \alpha\;$ em torno de $\;A\;$ seguida de uma rotação de ângulo $\;r\alpha / s \;$ em torno de $\; C' = \mbox{Rot}_A^\alpha (C)\;$
Para cada $\; \alpha , \;$ o arco de $\;(A,\;r),\; \;\; \widehat{BAT}=r \times \angle B\hat{A}T\;$ ou seja tem comprimento $\; r\times \alpha.\;$ Ao fim da primeira volta de $\;(C, \;s) \;$, a posição $\;B'\;$ é tal que o comprimento do arco $\;\widehat{BCB'} =2 \times \pi \times s = \displaystyle\frac{2 \pi r}{5}\;$ coincidirá com uma posição $\;T_\alpha\;$ em que $\;\alpha =\displaystyle \frac{2\pi}{5}.\;$
São precisas cinco voltas completas de $\;(C,\;s)\;$ para que a posição $\;T\;$ coincida com a posição inicial $\;B.\;$
Por ser $\;s = \displaystyle\frac{r}{5},\;$ ao dar uma volta completa de $\;(C,\;s),\;\;\; T'\;$ percorre um comprimento $\;2\pi s = \displaystyle 2\pi \frac{r}{5}.\;$ É claro que $\;T',\;$ ao tomar todas as posições pontos de $\;(C, s]\;$ no seu rolamento a partir de $\;B,\;$ os pontos $\;T\;$ de tangência passam pela quinta parte da circunferência $\;(A,\;r).\;$ E, só ao fim de cinco voltas, é que $\;T'\;$ que, depois de partir da posição $\;B\;$, a ela volta:
Cinco pétalas, cada uma partilhando um ponto em comum com a contígua, com a roda que rola e com a roda carril.
