Até agora, temos dedicado algum do nosso tempo a estudar geometria plana (usando como instrumentos a régua e o compasso euclidianos e as construções com eles feitas que foram passando a instrumentos). Fomos optando por uma entre várias aplicações disponíveis (GSP, ZuL/CaR, Cinderella, Cabri, …) nas suas diferentes versões mais adequadas ao que íamos fazendo e às possibilidades de as usarmos em apresentações dinâmicas a distância (web; html). Recentemente decidimos pegar em problemas de construção dos Livros de "Os Elementos" que se ocupam dos sólidos, especialmente do Livro XIII e último que trata dos sólidos platónicos.
Temos vindo a experimentar (dificuldades a) fazer construções, usando o Geogebra5 (e também o Geeometry Applet , usado por David Joyce para ilustrar com construções Euclide's Elements)
Mariana Sacchetti entendeu (e bem!, em coro o dizemos) a respeito destes últimos livros, introduzir as seguintes citações:
David S. Richeson: A Pérola de Euler. A fórmula dos poliedros e o nascimento da topologia, Gradiva. Lisboa:2015
Já demos exemplos suficientes para compreender como pensaram e trabalharam geometricamente as demonstrações de resultados algébricos (ou como se construiu a algebra geométrica). Nesta fase, vamos usar definições e proposições adaptadas à atualidade bem como terminologia adaptada e escrita simbólica. Para a construção de um tetraedro inscrito numa esfera de raio dado - objeto da Proposição 13 do Livro XIII, precisamos de olhar para a Proposição 12 que a precede. Proposição 12:
Se um triângulo equilátero está inscrito num círculo, então o quadrado de lado igual ao lado do triângulo é triplo do quadrado de lado igual ao raio do círculo.
Seja \;ABC\; um triângulo equilátero inscrito num círculo \;(D, \;r)\; de centro \;D \;e raio \;r= DA=DB=DC. Prova-se que \;AB^2= 3r^2.
Demonstração:
Trace-se a reta \;AD\; e tome-se o ponto \;E\; de interseção de \;AD\; com a circunferência \;(ABC)=(D,\; r):\; AE = 2r.\;
Trace-se \;BE.\;
O arco \;(BEC)\; da circunferência \;(D,\; r)\; é a sua terça parte, por ser \;ABC\; equilátero: \;(ABC) =3.(BEC)\;
O arco \;(BE)\; é a sexta parte da circunferência \;(ABC)\;: \;6.(BE) =(ABC)\;
Por isso, o segmento de reta \;BE\; é comprimento do lado de um hexágono inscrito em \;(D, \;r): \;BE=r=DE. E como \;AE= 2DE, \; AB^2=4DE^2=4BE^2.\;
Mas, como se sabe, \;AE^2= AB^2+BE^2\; por ser \;DE\; um diâmetro de \;(D, \;r)\; e, por isso, \;ABE\; retângulo em \;B.
Concluímos que \;AB^2+BE^2 = 4BE^2.\; E, finalmente, \;AB^2= 3BE^2 =3r^2.\; q\;\;\;\;\;\;$ □
Notas:
Temos vindo a experimentar (dificuldades a) fazer construções, usando o Geogebra5 (e também o Geeometry Applet , usado por David Joyce para ilustrar com construções Euclide's Elements)
Mariana Sacchetti entendeu (e bem!, em coro o dizemos) a respeito destes últimos livros, introduzir as seguintes citações:
(…) A contribuição mais importante do Livro XIII de Euclides é a demonstração que existem cinco e apenas cinco sólidos platónicos (…)retiradas de
Euclides dá instruções explícitas sobre como construir cada um dos cinco sólidos platónicos- mais precisamente constrói estes sólidos platónicos dentro de esferas (…).
As provas encontradas no Livro XIII não são devidas a Euclides mas a Teeteto. Alguns investigadores afirmam mesmo que Euclides terá seguido textualmente o trabalho de Teeteto (…)
(…) Teeteto nasceu durante a Guerra do Peloponeso, morreu na batalha entre Atenas e Corinto (369 a.c.). Estudou matemática com Teodoro que afirmou"Este rapaz avança em direcção à aprendizagem e investigação de modo suave, seguro e com sucesso, numa brandura perfeita , como um fluxo de óleo que flui sem fazer ruído, de forma que ficamos maravilhados como ele consegue tudo isto com a sua idade." Foi formador na Academia de Platão durante quinze anos (…)
(…) Muitos historiadores argumentam que toda a matemática contida nos Livros X e XIII de Euclides é devida a Teeteto (…)
David S. Richeson: A Pérola de Euler. A fórmula dos poliedros e o nascimento da topologia, Gradiva. Lisboa:2015
Já demos exemplos suficientes para compreender como pensaram e trabalharam geometricamente as demonstrações de resultados algébricos (ou como se construiu a algebra geométrica). Nesta fase, vamos usar definições e proposições adaptadas à atualidade bem como terminologia adaptada e escrita simbólica. Para a construção de um tetraedro inscrito numa esfera de raio dado - objeto da Proposição 13 do Livro XIII, precisamos de olhar para a Proposição 12 que a precede. Proposição 12:
Se um triângulo equilátero está inscrito num círculo, então o quadrado de lado igual ao lado do triângulo é triplo do quadrado de lado igual ao raio do círculo.
Seja \;ABC\; um triângulo equilátero inscrito num círculo \;(D, \;r)\; de centro \;D \;e raio \;r= DA=DB=DC. Prova-se que \;AB^2= 3r^2.
© geometrias. 22 de junho de 2015, Criado com GeoGebra
Trace-se a reta \;AD\; e tome-se o ponto \;E\; de interseção de \;AD\; com a circunferência \;(ABC)=(D,\; r):\; AE = 2r.\;
Trace-se \;BE.\;
O arco \;(BEC)\; da circunferência \;(D,\; r)\; é a sua terça parte, por ser \;ABC\; equilátero: \;(ABC) =3.(BEC)\;
O arco \;(BE)\; é a sexta parte da circunferência \;(ABC)\;: \;6.(BE) =(ABC)\;
Por isso, o segmento de reta \;BE\; é comprimento do lado de um hexágono inscrito em \;(D, \;r): \;BE=r=DE. E como \;AE= 2DE, \; AB^2=4DE^2=4BE^2.\;
Mas, como se sabe, \;AE^2= AB^2+BE^2\; por ser \;DE\; um diâmetro de \;(D, \;r)\; e, por isso, \;ABE\; retângulo em \;B.
Concluímos que \;AB^2+BE^2 = 4BE^2.\; E, finalmente, \;AB^2= 3BE^2 =3r^2.\; q\;\;\;\;\;\;$ □
Notas:
- A razão entre o lado \;AB\; de um triângulo equilátero \;ABC\; e o raio \;AD\; da circunferência em que se inscreve é: \;\frac{AB}{AD}=\sqrt{3}.\;
- Tome-se o ponto \;M\; de interseção de \;AE\; com \;BC\; que é o ponto médio de \;BC\; e de \;DE.\; Resulta óbvio que a razão entre a altura \;AM\; de um triângulo equilátero \;ABC\; e o diâmetro \;AE\; de uma circunferência em que se inscreve é \; \displaystyle \frac{AM}{AE} = \frac{3}{4}.\;
- David S. Richeson: A Pérola de Euler.
A fórmula dos poliedros e o nascimento da topologia, Gradiva. Lisboa:2015
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EUCLID’S ELEMENTS OF GEOMETRY
The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885)
from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus
B.G. Teubneri, 1883–1885
edited, and provided with a modern English translation, by
Richard Fitzpatrick
- David Joyce. Euclide's Elements
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