Tangente a uma cónica por um ponto a ela exterior

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (negro) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ e P₁Q₁. P₁Q₁R₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Tangente à cónica num dos seus pontos

E como é que se determina a polar de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade? Ou, dito de outro modo, como é que se determina a tangente (polar) a uma cónica de que conhecemos o ponto de tangência (seu polo)?
Consideremos a cónica (vermelha) e sobre ela um ponto (verde) P.
1. Tracemos uma secante à cónica que passe por P, seja PQ.
2. O polo de PQ será o ponto de intersecção p.q, em que p é a polar de P e q a polar de Q ( p e q serão tangentes à cónica em P e Q, respetivamente)
3. Como se determina o polo p.q de PQ? Tome-se um quadrilátero PQRS inscrito na cónica que terá um ponto diagonal C sobre PQ. Deste quadrilátero, o triângulo ABC autopolar, em que a polar de C é c=AB. Tome-se também um outro ponto de PQ, C₁, e por ele duas secantes à conica R₁S₁ PQ. PQR₁S₁ é um quadrilátero inscrito na cónica sendo A₁B₁C₁ o seu triângulo diagonal, auto-polar. A polar de C₁ é c₁= A₁B₁. PQ=CC₁ tem polo p.q=c.c₁.
4. A tangente à cónica, p, em P será a reta que passa por c.c₁ e por P.

da antiga dinâmica:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Polar de um ponto relativamente a uma cónica

As construção e demonstração da entrada anterior pretendem convencer que cada cónica, qualquer que ela seja, induz uma polaridade que fica definida por qualquer quadrângulo de vértices P,Q,R,S sobre a cónica para o qual se prova que o triângulo diagonal ABC é auto-polar. Antes disso já se tinha definido cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma polaridade (ABC)(Pp).
Desse modo, ficou também indicado o método para determinar a polar de um ponto qualquer não incidente na cónica. Para determinar a polar de um ponto C bastaria traçar duas retas por C, secantes à cónica (seguindo a figura dessa entrada) PQ e RS para, em seguida, obter os restantes pontos de intersecção de lados opostos de PQRS: A=PS.QR e B=PR.QS
A reta AB=c (lado oposto a C no triângulo diagonal ABC, como vimos, auto-polar) é a polar de C.

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Insistimos na determinação da polar. Como determinamos a polar de um ponto A (ponto negro) relativamente à cónica (vermelha) da figura?
Por A traçámos duas secantes à cónica QR e PS. Em seguida, determinados B=PR.QS e C=PQ.RS, pontos de intersecção dos restantes lados opostos de PQRS. ABC é o triângulo auto-polar de PQRS inscrito na cónica e, por isso, a polar de A é a=BC.

da antiga: Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Nesta entrada, se deslocar A, alterando a posição de A do interior para o exterior, pode verificar a relação entre as posições relativas de A e a relativamente à cónica. Pode deslocar o ponto P sobre a cónica para verificar que a não depende das secantes tiradas por A. Deixámos o ponto R (de que o desenho depende) para poder variar a cónica.

Da cónica para a polaridade associada

Na entrada anterior, tomámos a polaridade (ABC)(Pp) em que P incide em p. P é um ponto da cónica associada sendo p a tangente à cónica em P. Outros três pontos da cónica Q, R e S ficaram determinadas como conjugados harmónicos de P sobre as secantes CP (relativamente a C e CP.c), BP (relativamente a B e BP.b), AP (relativamente a A e AP.a).
A_p=AP.a, B_p=BP.b e C_p=CP.c são pontos de p, polar de P, conjugados de P. Aliás todos os pontos da reta p (tangente em P) são conjugados de P. Determinados os pontos Q, R e S deste modo a partir de (ABC)(Pp), a construção sugere que A=RQ.PS, B=PR.QS e C=PQ.RS ou que o triângulo auto-polar ABC é o triângulo diagonal do quadrângulo PQRS.
O último parágrafo da entrada anterior sugere que se se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar.
O lugar geométrico dos pontos autoconjugados de uma polaridade (hiperbólica) é uma cónica.
Será que se tivermos quatro pontos de uma cónica P, Q, R, S , o seu triângulo diagonal ABC é um triângulo auto-polar?
A construção seguinte ilustra isso mesmo

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella). Os pontos diagonais são as intersecções dos lados opostos do quadrângulo: A=PS.QR, B=PR.QS e C=RS.PQ. Tomemos ainda os pontos de intersecção com o lado AB do triângulo diagonal oposto ao vértice C, a saber: E=AB.RS e F=AB.PQ
Sabemos das relações harmónicas H(AB,EF), H(PQ,CF) ou H(RS,CE) e, em consequência, ficamos a saber que C é conjugado de E e também conjugado de F, ou seja, C é polo de AB=c, seu lado oposto. De modo análogo, ficaremos a saber que B é polo de AC e A é polo de BC.
É auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica.
Sabíamos que, sendo P∈p, a polaridade (ABC)(Pp) determina uma cónica.
Esta construção ilustra bem que uma cónica induz uma polaridade e mostra como ela se determina. Serve também para sugerir um método construtivo para determinar a polar de um qualquer ponto C que não seja ponto da cónica.
Já agora, pode reparar que
Um ponto interior, no caso C, tem uma polar que não interseta a cónica (é não secante). A polar de um ponto exterior, A por exemplo, interseta a cónica (é secante). A polar de um ponto da cónica, P por exemplo, passa por um só ponto da cónica (é tangente).

Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado

Na entrada anterior, fixámos uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
Essa polaridade com pontos auto-conjugados pode ser bem descrita por (ABC)(Pp), em que P incide em p (P é auto-conjugado e p é auto-conjugada) e ABC é um triângulo auto-polar (i.e., as polares de A é a=BC, de B é b=AC e de C é c=AB). O problema agora é construir um triângulo auto-polar, uma reta p e sobre ela o seu polo P que fique associada a uma cónica. Para isso, retomamos a construção da entrada Polaridade a partir de um triângulo auto-polar, publicada a 26 de Maio de 2012, em que provámos que uma correlação projetiva que relacione cada um dos três vértices de um triângulo com o seu lado oposto é uma polaridade. Na construção, que apresentamos a seguir, consideramos a correlação ABCP → abcp, em que a, b, c, são os lados opostos respetivamente a A, B, C e p é uma reta que não passa por qualquer dos vértices do triângulo, sendo P um ponto de p. O ponto P e a reta p correspondente, determinam 6 pontos sobre os lados do triângulo ABC, a saber: P_a=a.AP, P_b=b.BP, P_c=c.CP, A_p=a.p, B_p=b.p, C_p=c.p

da antiga:Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A correlação, transformando A,B,C em a,b,c, transforma a=BC em b.c=A, b=AC em a.c=B, c=AB em a.b=C, AP em a.p=A_p, BP em b.p=B_p, CP em c.p=C_p.
Claro que transforma o triângulo (cada vértice no lado oposto, cada lado no vértice oposto) como uma polaridade.
Falta ver que, para além de transformar P em p, também transforma p em P.
A correlação transforma cada ponto X de c numa certa reta que interseta c em Y. Como se trata de uma correlação projetiva, X e Y são projetivos. Quando X é A, Y é B e quando X é B, Y é A. Dito de outro modo a correlação transforma A em B e B em A. Já que a correlação transforma P_c=c.CP em CC_p, como vimos para A e B, P_c→C_p e C_p→P_c. A correlação transforma ainda C_p=c.p em CP_c=CP. E do mesmo modo, a correlação transforma A_p=a.p em AP e B_p=b.p em BP. Finalmente, podemos concluir que esta correlação transforma p=A_pB_p=(a.p)(b.p) em AP.BP=P.

Ficou assim provado que a correlação ABCP→abcp é a polaridade (ABC)(Pp), sendo P o polo de p. P é um ponto de p, auto-conjugado.
Já sabemos que sobre p não há outros pontos autoconjugados, mas também sabemos que em cada reta tirada por P, que não seja p, há um e só um ponto conjugado de P e auto-conjugado na polaridade. Sobre cada uma das retas da figura que passam por P, determinamos os conjugados harmónicos de P: S relativamente a A e P_a, R relativamente a B e P_b, Q relativamente a C e P_c. P, Q, R e S são pontos auto-conjugados para a polaridade (ABC)(Pp), em que p é uma reta auto-conjugada.
A cónica associada passa por P, Q, R, S e p só tem um ponto autoconjugado que é P.

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Pode realizar esta construção e verificar que, nas condições da construção, A está nas retas RQ e PS, B e, S são vértices de um quadrângulo completo cujo triângulo diagonal é ABC. Para ilustrar estes factos, traçámos após todo o trabalho da construção, na figura as retas QS, RQ e RS.

Uma polaridade, uma cónica

Na entrada anterior, tratámos da definição projetiva de cónicas com recurso às perspetividades e projetividades entre pontuais e entre feixes. Ocupar-nos-emos agora de uma outra abordagem da cónica; usando polaridades - correspondências que, associando a cada ponto A uma só reta a, fazem corresponder à reta a o ponto A, caso particular de correlação projetiva.
Algumas notas sobre polaridades já abordadas antes:

• Se, por uma polaridade, ao ponto A corresponde uma reta a, chamamos a A polo da reta a e desta dizemos que é a polar de A.
• Por ser uma correlação projetiva, as polares dos pontos de a formam um feixe de retas passando por A.
• Qualquer polaridade dualiza incidências e isso signica que se A incide em b a sua polar a passa pelo polo B de b. Quando isto acontece dizemos que A e B são pontos conjugados e que a e b são retas conjugadas.
• Se A incidir na sua polar a, diz-se que A é auto-conjugado: A pertence à sua polar a ou a passa pelo seu polo.
• Uma reta que tem dois pontos auto-conjugados não pode ser uma reta autoconjugada e
• Uma reta nunca pode ter mais que dois pontos auto-conjugados
• Uma polaridade induz uma involução de pontos conjugados em qualquer reta que não seja auto-conjugada. De facto, sobre uma reta c não auto-conjugado, a projetividade que faz corresponder a um ponto qualquer X o ponto Y de intersecção de c com a reta x polar de X transforma um ponto B não auto-conjugado num outro ponto A=c.b, cuja polar é BC e, do mesmo modo, transforma A em B. Esta projetividade permuta dois pontos de c é uma involução em c. Dualmente, as retas x e CX são emparelhadas pela involução de retas conjugadas tiradas por C.
• A um triângulo, em que cada vértice tem como polar o lado oposto (em que quaisquqer dois vértices são conjugados e quaisquer dois lados são retas conjugadas) chamamos triângulo auto-polar
• À semelhança do que pensámos para as involuções, podemos dividir as polaridades em dois tipos: as que admitem pontos auto-conjugados e as que não admitem qualquer ponto autoconjugado. Claro que é o mesmo que dizer se admitem ou não admitem retas auto-conjugadas.

Uma polaridade com pontos auto-conjugados também admite obviamente retas autoconjugadas. E pode ficar bem descrita simbolicamente por (ABC)(Pp), sendo P incidente em p.
A existência de um tal ponto P auto-conjugado basta, já que a sua existência garante que, para além dele, em cada reta diferente de p que passa por P há um outro ponto auto-conjugado.
Como sabemos o único ponto auto-conjugado de uma reta auto-conjugada é o seu polo (que é único). Dualmente, a única reta auto-conjugada a passar por um ponto P auto-conjugado é a sua polar p (única). Sobre qualquer reta, não seja p, tirada por P, é induzida uma involução de pontos conjugados. Por esta involução, essa reta que tem P como ponto invariante (duplo), terá um segundo ponto invariante Q, o qual é um outro ponto auto-conjugado da polaridade.
Quer isto dizer, que a existência de um ponto auto-conjugado para uma dada polaridade implica a existência de muitos pontos auto-conjugados. Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas .
E, a partir de agora, consideramos que falar de uma cónica é o mesmo que falar da polaridade associada,se falamos de polo (ou polar) pode ser e é no sentido de polo (ou polar) relativamente a uma cónica, e, em vez de conjugado para a polaridade, conjugado relativamente a cónica. Uma tangente tem um só ponto (o seu polo) em comum com a cónica, chamado ponto de contato ou de tangência. Qualquer outra reta é secante ou não secante conforme corte a cónica em dois pontos ou não corte, isto é, conforme a involução de pontos conjugados tem ou não pontos invariantes.

Definição projetiva de cónicas

O nosso estudo (dos últimos meses) e as nossas construções em geometria projetiva plana quase exclusivamente consideraram pontos e certos subconjuntos de pontos (retas) do plano. As figuras do plano em que trabalhámos foram sempre definidas e constituídas por pontos e retas - triângulos (três pontos e três retas), quadrângulos (quatro pontos e seis retas ou quatro retas e seis pontos), etc - e as relações de incidência (por dois pontos passa uma reta, duas retas intersetam-se num ponto, ligar ou juntar, encontrar-se,etc). E definimos as transformações projetivas (a começar pelas perspetividade e projetividade do plano em que as imagens de pontos são pontos e de retas são retas, etc e pelas quais as relações de incidência entre pontos e retas são preservadas).

• Perspetividades
  
  1. Sejam duas retas a e b relacionadas por uma perspetividade, para a qual A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... em que os pontos A_i incidem em a e B_i incidem em b. O lugar geométrico dos pontos de interseção das retas A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... reduz-se a um ponto A que é chamado o centro dessa perpetividade. Por isso, se fala de uma perspetividade relativamente a um ponto (ou centro). Como já vimos antes as razões cruzadas (A₁, A₂; A₃, A₄) e (B₁, B₂; B₃, B₄) são iguais. E por via desta invariância dizemos que essa é a razão cruzada (A₁B₁, A₂B₂; A₃B₃, A₄B₄) do feixe das retas de centro A.
  2. De modo análogo, dualmente:
     Sejam dois pontos A e B e os feixes de retas a₁, a₂, ..., a_i, ... passando por A e b₁, b₂, ..., b_i, ...por B, relacionados por uma perspetividade para a qual a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... O lugar geométrico dos pontos de intersecção das retas a₁.b₁, a₂.b₂, ..., a_i.b_i, ... é uma reta a. Por isso se fala de perspetividade de dois feixes relativamente a uma reta. Como já vimos antes, são iguais as razões cruzadas (a₁, a₂; a₃, a₄), (b₁, b₂; b₃, b₄) e (a₁.b₁, a₂.b₂; a₃.b₃, a₄.b₄).
• Projetividades
  Na construção que se segue, pode ver-se a ilustração equivalente para projetividades (não perspetivas)
  Na construção dinâmica acima, há dois feixes, um centrado em A e outro em B; do primeiro tomamos uma secção pela reta a e do segundo uma secção pela reta b, nas seguintes condições:
  a₁→A₁, a₂→A₂, ..., a_i→A_i, ...
  A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ... é uma projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
  B₁→b₁, B₂→b₂, ..., B_i→b_i, ...
  garantindo assim que a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ... é uma projetividade entre os dois feixes
  As razões cruzadas entre quaternos de retas dos feixes é o mesmo número que tomam as iguais razões entre os quaternos de pontos de qualquer das secções por a e b dos feixes centrados em A e B.
  1. Da projetividade entre as pontuais baseadas em a e em b
     A₁→B₁, A₂→B₂, ..., A_i→B_i, ...
     resulta que A₁B₁, A₂B₂, ..., A_iB_i, ... não constituem um feixe, mas cada uma delas tem um só ponto de contacto com uma cónica, a vermelho na construção (?).
     Se quisermos, o conjunto desses pontos de contacto forma uma pontual de 2ª ordem (noção até agora não considerada) e que se distingue das pontuais de 1ª ordem sobre retas. Uma cónica aparece como envolvente das retas entre pontos (de pontuais de 1ª ordem) relacionadas por uma projetividade (não perspetividade). Há autores que consideram as cónicas como feixes de 2ª ordem.
  2. Da projetividade entre os feixes centrados em A e em B
     a₁→b₁, a₂→b₂, ..., a_i→b_i, ...
     resulta que os pontos de interseção das retas correspondentes U = a₁.b₁, D = a₂.b₂, T = a₃.b₃, Q = a₄.b₄, ..., I = a_i.b_i, ... não são pontos colineares, mas são pontos de uma cónica, a preto na construção.
     Dizemos que estes pontos de interseção formam uma pontual de 2ª ordem e há autores que definem as cónicas como pontuais de 2ª ordem, obtidas como intersecções de retas de dois feixes de 1ª ordem com centros diferentes, projetivos e não perspetivos.