Euclides. Elementos, Livro VI - Proposição XXXIII C

A Mariana trouxe das leituras dos seus "Elementos de Euclides" a útlima proposição do Livro VI. Aqui fica uma construção dinâmica, acompanhada de resultados particulares para a figura (que pode fazer variar) e da demonstração copiada do papelinho que ela apresentou ao Lugar Geométrico.
António Aurélio interessou-se pelo tipo de problema e demonstração e logo apresentou outros resultados. O maquinista ainda disse que não era costume do blog, mas não parece ter comovido nenhum dos sentados no LUGAR. Sem poder vencê-los, junta-se a eles. Por isso, é bem possível que, na senda destes, outros resultados venham a ser publicados acompanhados de demonstrações. O futuro dirá.

Proposição:
Seja um qualquer triângulo, ABC, inscrito numa circunferência de raio r. Chamamos aos lados a=BC, b=AC e c=AB e h_a à altura relativa a a tirada de A. Nestas condições, prova-se que bc=2rh_a.

Circunferências tangentes a retas dadas

Determinar o lugar dos centros das circunferências de raio dado, tangentes a uma reta dada.




O lugar geométrico dos centros das circunferências tangente a uma recta r é uma recta paralela a r distanciada dela o raio dado.


Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a duas retas dadas?




Os centros das circunferências tangentes a duas retas r e s são equidistantes de r e s e, por isso, o seu lugar geométrico é a bissetriz do ângulo das duas rectas. Se r e s forme paralelas, o lugar geométrico é uma recta paralela às duas.

O mesmo da última entrada, experimentando com Geogebra

Experimentámos, usando GeoGebra, determinar a recta que passa por A e corta uma circunferência em dois pontos C e D equidistantes do ponto B dado.
Movimentando D sobre a circunferência, pode encontrar a recta que interessa. Explique porque é essa. Faça a sua construção com as ferramentas disponíveis e verifique.

Retas, circunferências e cordas

Um exercício interactivo sobre enunciado da lista de outros lugares geométricos:

São dados os pontos A e B e a circunferência c. Traçar por A uma reta que intersete c nos pontos C e D equidistantes de B.

O quinto básico lugar geométrico

O quinto enunciado da lista de exercícios da lista lugares geométricos básicos é:
São dadas duas circunferências de centros O e O’ e raios r e r’. Traçamos dois raios r e r’ paralelos e com o mesmo sentido. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios M dos segmentos AA’ quando A e A’ se deslocam sobre as circunferências?

Aqui fica uma resolução que pode confirmar, com uma resolução autónoma. O que aconteceria se os raios não tivessem o mesmo sentido? Onde estará o centro da circunferência que passa por M?

O sexto básico lugar geométrico da lista

Qual é o lugar geométricos dos pontos M médios das cordas de uma circunferência c que têm um comprimento dado s?

Fazendo pausa na animação e com as ferramentas disponíveis, pode determinar o lugar geométrico pedido e verificando que coincide com o da figura.

Centros da circunferência de raio dado a passar por um ponto

Vamos apresentar uma animação referente ao exercício 1 da lista de lugares geométricos básicos publicada em 11/10/2010.
Seja O o centro de uma circunferência que passa por A e tem raio r.
O conjunto dos pontos O à mesma distância de A é uma circunferência de centro O e raio r.
Reciprocamente, se O' é um ponto qualquer da circunferência de centro A e raio r, O'A = r e O' é centro de uma circunferência com o mesmo raio que passa por A.
O lugar pedido é a circunferência de centro A com o raio r.

Outros lugares geométricos básicos

1. São dados os pontos A e B e a circunferência c. Traçar por A uma reta que intersete c nos pontos C e D equidistantes de B.
2. Determinar o lugar dos centros das circunferências de raio dado, tangentes a uma reta dada.
   Qual o lugar das circunferências tangentes a duas retas dadas?
3. São dadas uma circunferência c e a tangente t num ponto A da circunferência. Seja M' o simétrico de M em relação a t. Qual o lugar dos pontos M' quando M percorre a circunferência?
4. Num ponto A de uma circunferência c traça-se a tangente à curva. Sobre a tangente tomam-se os pontos M e M' simétricos em relação a A. Qual o lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferência?
5. É dado um ângulo XOY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferência tangente a OX em A e a OY em B. Qual o lugar dos pontos B quando OY roda com O fixo?

Todos estes enunciados que têm sido e serão publicados são retirados de "Éxércices de Géométrie" de Th. Caronnet (Vuibert, Paris: 1947)

Lugares geométricos básicos - outra solução

O terceiro enunciado da lista de exercícios sobre lugares geométricos básicos é:
São dados uma circunferência c um segmento de reta AA’. Por cada ponto M da curva traça-se um segmento MM’ com o mesmo comprimento de AA’, paralelo e com o mesmo sentido. Qual é o lugar dos pontos M’?
Aqui fica resolvido.

Lugares geométricos parecidos

Na lista de exercícios sobre lugares geométricos básicos é apresentado o seguinte:

Qual é o lugar geométrico dos pontos G de intersecção das medianas de um triângulo cujo lado BC é fixo e cuja mediana AM_a tem um dado comprimento l?

que pode ser associado ao resultado apresentado antes, nas entradas intervalo para esclarecimentos sobre lugares geométricos e notas sobre lugares geométricos que tratavam, entre outros do lugar geométrico dos baricentros dos triângulos com um mesmo circuncírculo em que dois vértices são fixos e outro ocupa qualquer posição sobre o circuncírculo.

Tem algum interesse ver que conjecturas se fazem para o primeiro resultado e para este novo lugar geométrico.

Nesta entrada, tratamos da generalização.

Pode parar a animação e pode mudar o comprimento da mediana.

Circunferência, recta e mediatriz - soluções.

Quando publicámos o problema interativo que consistia em determinar dois pontos - um C sobre uma circunferência c e outro S sobre a reta s - de tal maneira que a reta r fosse a mediatriz do segmento CS, esperávamos que a solução fosse encontrada de uma única maneira usando as rectas. Assim:





Rapidamente chegámos à conclusão que havia solucionadores que partiam da circunferência. Determinavam em primeiro lugar o simétrico O' de O relativamente a r e com centro em O' a refletida c' da circunferência c. Para concluir que as interseções de s com c' e os seus simétricos em relação a r dão as soluções.




(seguindo o Acordo Ortográfico)

Lugares geométricos básicos

Perguntas simples para respostas simples:

1. Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por um ponto dado A e têm um raio dado r.
2. Qual é o lugar geométrico dos pontos G de intersecção das medianas de um triângulo cujo lado BC é fixo e cuja mediana AM_a tem um dado comprimento l?
3. São dados uma circunferência c um segmento de reta AA’. Por cada ponto M da curva traça-se um segmento MM’ com o mesmo comprimento de AA’, paralelo e com o mesmo sentido. Qual é o lugar dos pontos M’?
4. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos definidos por um ponto A e os pontos de uma circunferência c.
5. São dadas duas circunferências de centros O e O’ e raios r e r’. Traçamos dois raios r e r’ paralelos e com o mesmo sentido. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios M dos segmentos AA’ quando A e A’ se deslocam sobre as circunferências?
6. Qual é o lugar geométricos dos pontos médios das cordas de uma circunferência que têm um comprimento dado l?

Circunferência e recta; distância e direcção

Na construção dinâmica, considere a circunferência c e a recta s.
Determine os pontos M da circunferência c e N da recta s tais que a distância entre eles seja igual à dada (MN) e segundo a direcção de r.

A circunferência, a recta e a mediatriz

No 9º ano de escolaridade, são abordados os lugares geométricos. A recta e a circunferência são o ponto de partida para o que pode ser uma aventura de pensamento e descobertas, tão simples quanto difíceis. Os conceitos podem ser muito simples, mas os problemas podem ser resolvidos por abordagens que nem sempre aparecem de imediato. Por aqui não vamos descobrir coisa alguma, mas vamos propor problemas de construção elementares que alimentem o fascínio sobre lugares geométricos básicos.

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Na figura que se segue representam-se duas rectas r e s e uma circunferência.

Propomos a determinação, por construção, de pares de pontos (C, S) em que C esteja sobre a circunferência e S sobre a recta s sendo r a mediatriz do segmento CS.

O computador dirá quando o(s) tiver bem determinado(s).

Notas sobre lugares geométricos

A procura dos lugares geométricos (ver publicação de 24/09/2010) do ortocentro, baricentro e incentro de um triângulo inscrito numa circunferência dada, quando B e C permanecem fixos, e a sua justificação, levou-nos a outras perguntas:
Qual será o lugar geométrico dos pontos X₁, X₂ e X₃ resultantes das somas vectoriais OA+OB+OC=OX₁ , GA+GB+GC=GX₂ e IA+IB+IC=IX₃?




Foi interessante verificar que se X₁=H e X₂ =G e como tal os lugares geométricos são os já encontrados para o ortocentro e baricentro, nas condições referidas, já o lugar geométrico de X₃ é ... um lugar estranho - há alguém que queira dar uma ajuda - que curva é esta?

Nota sobre a mediana e a área do trapézio

A dedução de uma fórmula da área do trapézio é feita nas folhas de experimentação do ensino básico usando um triângulo equivalente ao trapézio. Também poderia ser feita a partir da soma de dois triângulos que compõem o trapézio como vimos. Mas outra forma será passando do trapézio para um rectângulo em que uma das dimensões é o segmento MN (segmento de extremos nos pontos médios dos lados não paralelos a que chamamos mediana e cujo comprimento é semi-soma dos comprimentos das bases do trapézio). A propriedade dos pontos médios dos lados não paralelos que também dividem a meio a altura do trapézio e da mediana do trapézio também merecem referência especial. Propomos uma construção dinâmica que ilustra bem a equivalência entre o trapézio ABCD e o rectângulo EFGH em que podemos apreciar a congruência e equivalência dos pares de triângulos (acrescentados/subtraídos) e relação das bases do trapézio com a mediana MN. Pode fazer variar a figura deslocando A, B C ou D ou o ponto auxiliar a azul (este para fazer variar a altura do trapézio). Os botões servem para ocultar ou mostrar cada uma das figuras (trapézio ABCD, rectângulo EFGH, triângulo a triângulo...)



Nenhuma destas abordagens pode ser considerada inibida ou excluída na leccionação e é razoável pensar que cada estudante pode decidir por qualquer delas para chegar à fórmula da área ou para calcular a área se não se lembrar da fórmula.

Nota sobre a área do trapézio

Nas folhas de trabalho do novo programa, para chegar a uma fórmula da área de um trapézio qualquer optou-se pela construção de um triângulo equivalente ao trapézio.
Como se pode ver na figura, tomando CE que passa pelo ponto M médio de AD, os triângulos AEM e CDM são congruentes (ALA) e logo equivalentes. E o triângulo BCE tem a mesma área do trapézio e a mesma altura (distância entre as bases paralelas) sendo a base BE deste triângulo a soma das bases do trapézio BE=BA+CD, já que CD=AE.



Convém, no entanto, ter presente que pode ser mais fácil para os estudantes compreender o resultado a partir da soma das áreas dos dois triângulos em que se decompõe o trapézio: ABC e CDA, em que o primeiro para a base AB (maior do trapézio) e o segundo para CD (base menor do trapézio) têm a mesma altura- distância entre as paralelas AB e CD.

Do pentágono ao decágono

Considere-se um pentágono inscrito [ABCDE] numa circunferência de que é dado o centro.
Determine os vértices e os lados de um decágono circunscrito do qual é apontado como alvo um vértice P.