Cissóides?

Tomamos um ponto O e duas curvas a (a verde) e b (a azul) e uma recta que passa por O e corta ambas as curvas (em P a curva a e em Q a curva b).





A vermelho está assinalado o lugar geométrico dos pontos diferença: |OD|=||OQ|-OP||
A azul fica assinalado o lugar geométrico dos pontos soma: |OS|=|OP|+|OQ|


Pode sempre fazer variar as curvas e o ponto O, obtendo diversos lugares geométricos.
Pode deslocar o ponto P sobre a curva a e ver os pontos D e S a descrever os correspondentes lugares geométricos.

Conchóide de Nicomedes

Há uns anos atrás, para a trissecção de um ângulo com nêusis construí a conchóide de Nicomedes com recurso ao Cinderella





Aqui fica, agora feita com o Geogebra.

Na figura desta entrada, temos uma recta ( a horizontal azul) e um ponto O. As rectas (a verde) que passam por O cortam a azul em pontos P. Os pontos desta última recta que estão a igual a distância de P descrevem uma conchóide de Nicomedes, quando P percorre a recta azul.

A cissóide de Diocles e a parábola

Chamemos curva pedal de uma parábola ao lugar geométrico dos pontos de intersecção das suas tangentes com as suas perpendiculares tiradas pelo seu vértice. A curva pedal da parábola é uma cissóide de Diócles.





Como divertimento próprio da época, estamos a experimentar pequenas animações com o Geogebra.

Inversa da cissóide de Diócles

Cissóide e sua inversa

Quinta cissóide

Tomamos agora um ponto O, uma elipse e uma parábola.
Por O tiramos uma recta r cortando as duas curvas, em P e Q.
A cissóide é o lugar geométrico dos pontos C colineares com O, P e Q e tais que |OC|=||OP|-|OQ||.

Quarta cissóide

Tomamos agora um ponto O, uma elipse e uma hipérbole. Por O tiramos uma recta r cortando as duas curvas, em P e Q.
A cissóide é o lugar geométrico dos pontos C colineares com O, P e Q e tais que |OC|=||OP|-|OQ||.

Terceira cissóide

Tomamos agora um ponto O e duas circunferências a e b. Por O tiramos uma recta r cortando as duas circunferências em P e Q.
A cissóide é o lugar geométrico dos pontos C colineares com O, P e Q e tais que |OC|=||OP|-|OQ||.

Segunda cissóide

Tomamos um ponto O, uma recta a e uma circunferência b. Consideremos as rectas r que passam por O e cortam a recta a e a circunferênica b. O lugar geométricos dos pontos C das rectas r, tais que ||OC|=||OP|-|OQ|| é uma cissóide.





Para cada ponto O, cada recta a e circunferência b há uma cissóide. Pode verificar as mudanças de cissóide, movimentando a circunferência b e a recta a ou os pontos a preto ligados à recta a ou à circunferência b. Pode ver o ponto C a deslocar-se sobre cada cissóide, se deslocar o ponto Q sobre a circunferência b.

Primeira cissóide

Tomem-se duas curvas a e b, um ponto O e uma recta r passando por O que corte as duas curvas em P e Q.
O lugar geométrico dos pontos C da rectar tais que |OC| =||OQ|-|OP|| é a cissóide das curvas a e b relativamente ao ponto O.






No caso da construção desta entrada, tomamos duas rectas para curvas. Pode arrastar as rectas (curvas) e variar a inclinação de de uma delas usando um ponto a verde sobre b. Fixando O e as curvas, pode seguir o curso de C sobre a cissóide respectiva, deslocando P sobre a (que é acompanhado pela variação da recta r). Pode deslocar O, mantendo invariantes as curvas e verificar que para cada O é gerada uma cissóide diferente. Pode variar as curvas e as relações entre elas, mantendo O invariante, e observar as diferentes cissóides para diferentes curvas.